I metodi di risoluzione di un sistema in matematica
In questo articolo esploreremo i vari metodi di risoluzione dei problemi in matematica, una competenza fondamentale sia per studenti che per professionisti in questo campo. Risolvere problemi matematici non è solo una questione di applicare formule e algoritmi; richiede creatività, logica, e un approccio sistematico per affrontare e scomporre complesse sfide matematiche.
Cominceremo discutendo l’importanza della comprensione completa del problema. Questo passo iniziale implica leggere attentamente il problema, identificare le informazioni note e quelle sconosciute, e capire qual è l’obiettivo da raggiungere. La chiarezza in questa fase è cruciale per impostare correttamente la strategia di risoluzione.
In base alle caratteristiche del nostro sistema, potremo scegliere qual è il metodo di risoluzione più adeguato o che, semplicemente, preferiamo applicare. Scopriamoli insieme!
Metodo di risoluzione di un sistema
Qui trovi come risolvere i sistemi intuitivamente: costruiamoci un metodo per risolvere i sistemi usando solo il ragionamento!
Sotto trovi altri post con esercizi svolti sui metodi per risolvere i sistemi. Ci sono almeno molti metodi per risolvere i sistemi, qui ne vediamo due:
- Metodo di sostituzione
- Metodo di riduzione
Puoi scegliere tu quale metodo usare. In base alle equazioni del sistema, un metodo può essere più veloce di un altro. Qui servono esperienza e allenamento!
Trovi gli esercizi su questo argomento nella lezione successiva.
Metodo di sostituzione per risolvere un sistema
Il metodo di sostituzione nei sistemi di equazioni ti permette di trovare facilmente la soluzione. È molto facile da usare e molto intuitivo. Ecco come risolvere i sistemi con il metodo di sostituzione:
- Isola l’incognita che vuoi in una delle due equazioni
- Sostituisci quello che hai trovato nell’altra equazione
- Risolvi l’equazione trovata, che ha una sola incognita
- Sostituisci il valore trovato nell’altra equazione e risolvila
Questo metodo è il più intuitivo e semplice anche se a volte può essere un po’ lungo. L’unica difficoltà sta nel non sbagliare i conti!
Trovi gli esercizi su questo argomento nella lezione successiva.
Metodo di riduzione per la risoluzione di un sistema
Il metodo di riduzione può essere più veloce del metodo di sostituzione per risolvere un sistema lineare. Funziona molto bene quando i coefficienti di una delle due incognite sono uguali o opposti. In questi casi allora il metodo di riduzione è molto utile perché ti basta:
- Ordinare le incognite e il termine noto sia nella prima che nella seconda equazione
- Se i coefficienti di una incognita sono uguali, allora sottrai le due equazioni. Se invece sono opposti, fai la somma
- Trovi un’equazione facile da risolvere con una sola incognita
- Sostituisci il valore trovato nell’altra equazione e risolvila.
Trovi gli esercizi su questo argomento nella lezione successiva.
Metodo di Cramer per risolvere i sistemi
Come risolvere i sistemi con il metodo di Cramer? Ecco tutti i passaggi da seguire:
1. scrivere il sistema nella forma £$\begin{cases} a_{1}x+b_{1}y=c_{1} \\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2}\end{cases}$£
2. calcolare il determinante della matrice dei coefficienti £$A=\left( \begin{array}{cc} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{array} \right)\Rightarrow D=a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}$£
3. calcolare il determinante delle matrici delle incognite
£$A_{x}=\left( \begin{array}{cc} c_{1} & b_{1} \\ c_{2} & b_{2} \end{array} \right)\Rightarrow D_{x}=c_{1}b_{2}-b_{1}c_{2}$£ e £$A_{y}=\left( \begin{array}{cc} a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2} \end{array} \right)\Rightarrow D_{y}=a_{1}c_{2}-c_{1}a_{2}$£
4. la soluzione del sistema è $$x=\frac{D_{x}}{D} \quad y=\frac{D_y}{D}$$
Caso 1 – Sistema determinato: se £$D\ne 0$£ il sistema è determinato.
Caso 2 – Sistema indeterminato: se £$D=0$£ e almeno uno tra £$D_{x}$£ e £$D_{y}$£ è uguale a [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"/], il sistema è indeterminato.
Caso 3 – Sistema impossibile: se £$D=0$£ e sia £$D_{x}$£ che £$D_{y}$£ sono diversi da [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"/], il sistema è impossibile.
Trovi gli esercizi su questo argomento nella lezione successiva.