Metodi di risoluzione di un sistema

Sai già cosa sono i sistemi lineari di equazioni ma ti sei mai domandato come risolverli? I metodi di risoluzione sono molto semplici. Guarda i video per imparare i metodi più utilizzati. Nella lezione successiva troverai un approfondimento sulle soluzioni e l'impostazione di sistemi lineari.

Risolvere i sistemi di equazioni lineari è semplice. Ci sono molti metodi di risoluzione dei sistemi, ma alcuni sono più lunghi e macchinosi di altri.
Per questo qui imparerai a risolvere i sistemi lineari con il metodo di sostituzione o con il metodo di riduzione.

Il metodo di sostituzione funziona sempre e, come dice il nome, si basa sulla sostituzione del valore di un'incognita: ricava un'incognita in funzione dell'altra, sostituiscila nell'equazione e trova il suo valore numerico. A questo punto torna indietro e risolvi il sistema. Non c'è niente di difficile, ma il procedimento è piuttosto lungo. 

Che ne dici di velocizzare i conti con il metodo di riduzione? Se i coefficienti di una delle due incognite sono rispettivamente uguali o opposti basta sottrarre o sommare membro a membro le due equazioni. Troverai subito il valore numerico di una delle due incognite e ti basterà sostituirlo in una delle due equazioni del sistema per trovare anche l’altra incognita.

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Prerequisiti per metodi di risoluzione di sistemi lineari

I prerequisiti per soluzioni e impostazione di sistemi lineari sono:

Metodo di risoluzione di un sistema

Qui trovi come risolvere i sistemi intuitivamente: costruiamoci un metodo per risolvere i sistemi usando solo il ragionamento!

Sotto trovi altri post con esercizi svolti sui metodi per risolvere i sistemi. Ci sono almeno molti metodi per risolvere i sistemi, qui ne vediamo due:

  • Metodo di sostituzione
  • Metodo di riduzione

Puoi scegliere tu quale metodo usare. In base alle equazioni del sistema, un metodo può essere più veloce di un altro. Qui servono esperienza e allenamento!

Trovi gli esercizi su questo argomento nella lezione successiva.

Metodo di sostituzione

Il metodo di sostituzione nei sistemi di equazioni ti permette di trovare facilmente la soluzione. È molto facile da usare e molto intuitivo. Ecco come risolvere i sistemi con il metodo di sostituzione:

  1. Isola l’incognita che vuoi in una delle due equazioni
  2. Sostituisci quello che hai trovato nell’altra equazione
  3. Risolvi l’equazione trovata, che ha una sola incognita
  4. Sostituisci il valore trovato nell’altra equazione e risolvila

Questo metodo è il più intuitivo e semplice anche se a volte può essere un po’ lungo. L’unica difficoltà sta nel non sbagliare i conti!

Trovi gli esercizi su questo argomento nella lezione successiva.

Metodo di riduzione

Il metodo di riduzione può essere più veloce del metodo di sostituzione per risolvere un sistema lineare. Funziona molto bene quando i coefficienti di una delle due incognite sono uguali o opposti. In questi casi allora il metodo di riduzione è molto utile perché ti basta:

  1. Ordinare le incognite e il termine noto sia nella prima che nella seconda equazione
  2. Se i coefficienti di una incognita sono uguali, allora sottrai le due equazioni. Se invece sono opposti, fai la somma
  3. Trovi un’equazione facile da risolvere con una sola incognita
  4. Sostituisci il valore trovato nell’altra equazione e risolvila.

Trovi gli esercizi su questo argomento nella lezione successiva.

Metodo di Cramer

Come risolvere i sistemi con il metodo di Cramer? Ecco tutti i passaggi da seguire:

1. scrivere il sistema nella forma £$\begin{cases} a_{1}x+b_{1}y=c_{1} \\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2}\end{cases}$£

2. calcolare il determinante della matrice dei coefficienti £$A=\left( \begin{array}{cc} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{array} \right)\Rightarrow D=a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}$£

3. calcolare il determinante delle matrici delle incognite

£$A_{x}=\left( \begin{array}{cc} c_{1} & b_{1} \\ c_{2} & b_{2} \end{array} \right)\Rightarrow D_{x}=c_{1}b_{2}-b_{1}c_{2}$£ e £$A_{y}=\left( \begin{array}{cc} a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2} \end{array} \right)\Rightarrow D_{y}=a_{1}c_{2}-c_{1}a_{2}$£

4. la soluzione del sistema è $$x=\frac{D_{x}}{D} \quad y=\frac{D_y}{D}$$

Caso 1 - Sistema determinato: se £$D\ne 0$£ il sistema è determinato.

Caso 2 - Sistema indeterminato: se £$D=0$£ e almeno uno tra £$D_{x}$£ e £$D_{y}$£ è uguale a £$0$£, il sistema è indeterminato.

Caso 3 - Sistema impossibile: se £$D=0$£ e sia £$D_{x}$£ che £$D_{y}$£ sono diversi da £$0$£, il sistema è impossibile.

Trovi gli esercizi su questo argomento nella lezione successiva.

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