Prodotto scalare

Che cos'è il prodotto scalare tra due vettori? Si tratta di un'operazione molto importante e utile! Impara a calcolare il prodotto scalare tra due vettori e scopri anche le sue proprietà. Scopri quando due vettori sono perpendicolari.

Nelle lezioni precedenti hai imparato a moltiplicare un vettore per uno scalare, cioè un numero reale qualsiasi. Esiste un altro tipo di moltiplicazione che può essere eseguita tra i vettori di uno spazio vettoriale di tipo £$\mathbb{R}^n$£: il prodotto scalare.

Come dice il suo nome, il risultato del prodotto scalare non è un vettore, ma uno scalare!

In questa lezione scoprirai tutti i segreti di questa operazione, che è fondamentale e utilissima in numerosi campi, per esempio in fisica.

Come è avvenuto per l'addizione tra vettori e la moltiplicazione per uno scalare, anche in questo caso sono utili i teoremi della trigonometria per calcolare i prodotti scalari.

Inoltre, anche per questa nuova operazione imparerai le principali proprietà.

Ricordi che un vettore può essere rappresentato in modo geometrico come segmento orientato? Due vettori possono quindi essere disposti nel piano o nello spazio secondo direzioni tra di loro perpendicolari.

Bene, in questa lezione scoprirai come la perpendicolarità sia strettamente collegata al prodotto scalare!

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Prerequisiti per imparare il prodotto scalare e il prodotto vettoriale

I prerequisiti per imparare il prodotto scalare e il prodotto vettoriale sono:

Cos'è il prodotto scalare di due vettori

In uno spazio vettoriale del tipo £$\mathbb{R}^n$£, per esempio il piano cartesiano £$\mathbb{R}^2$£, lo spazio cartesiano a tre dimensioni £$\mathbb{R}^3$£, o in generale lo spazio cartesiano a n dimensioni £$\mathbb{R}^n$£, si definisce prodotto scalare di due vettori £$\overrightarrow{u} = (u_1, u_2, \dots u_n)$£ e £$\overrightarrow{v} = (v_1, v_2, \dots v_n)$£ il numero reale £$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + \dots + u_nv_n$£. Il risultato dell’operazione di prodotto scalare è quindi uno scalare, e non un vettore. Nel caso particolare del piano cartesiano £$\mathbb{R}^2$£, il prodotto scalare tra due vettori £$\overrightarrow{u} = (u_x, u_y)$£ e £$\overrightarrow{v} = (v_x, v_y)$£ è uguale a £$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = u_xv_x + u_yv_y$£. Nello spazio cartesiano a tre dimensioni £$\mathbb{R}^3$£, il prodotto scalare tra due vettori £$\overrightarrow{u} = (u_x, u_y, u_z)$£ e £$\overrightarrow{v} = (v_x, v_y, v_z)$£ è uguale a £$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = u_xv_x + u_yv_y + u_zv_z$£.

Quali sono le proprietà del prodotto scalare

Consideriamo due vettori £$\overrightarrow{u}$£ e £$\overrightarrow{v}$£ appartenenti a uno spazio vettoriale £$\mathbb{R}^n$£, e un numero reale £$\lambda$£. Il prodotto scalare dei due vettori gode delle seguenti proprietà:

commutatività: £$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}$£

omogeneità: £$(\lambda\overrightarrow{u}) \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} \cdot (\lambda\overrightarrow{v}) = \lambda(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})$£

distributività rispetto all’addizione: £$(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \cdot \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w}$£ e £$\overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}$£.

Il prodotto scalare non gode invece dell’ associatività. Infatti, un’espressione del tipo £$(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}) \cdot \overrightarrow{w}$£ è priva di senso in quanto il prodotto £$(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})$£ è il risultato di un prodotto scalare, e quindi un numero reale, e come tale non può essere il primo operando di un prodotto scalare, operazione che ha dei vettori come operandi. Il prodotto scalare £$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$£ dello spazio vettoriale £$\mathbb{R}^n$£ può essere definito anche come £$uvcos(\alpha)$£, dove £$\alpha$£ è l’angolo compreso tra i due vettori £$\overrightarrow{u}$£ e £$\overrightarrow{v}$£, mentre £$u$£ e £$v$£ sono rispettivamente i moduli dei due vettori. Per dimostrarlo si ricorre al teorema del coseno. Grazie al primo teorema dei triangoli rettangoli, si può dimostrare che il prodotto scalare £$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$£ è anche uguale al modulo di uno dei due vettori operandi, moltiplicato per la proiezione ortogonale dell’altro vettore sulla direzione del primo.

Vettori perpendicolari

Due vettori sono perpendicolari se e solo se il loro prodotto scalare è nullo. Infatti, £$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = uvcos(\alpha)$£ può essere uguale a zero se e solo se sussiste uno dei seguenti casi:

  • £$u = 0$£
  • £$v = 0$£
  • £$cos(\alpha) = 0$£

Nei primi due casi uno dei due vettori di partenza è nullo, mentre il terzo caso si verifica quando £$\alpha$£ è uguale a £$90^{\circ} + k \cdot 180^{\circ}$£, con £$k$£ intero, cioè quando i due vettori sono tra di loro perpendicolari.

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Esercizi di prodotto scalare - 1

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