Derivate di esponenziale e logaritmo

Scopri come calcolare la derivata delle funzioni esponenziale e logaritmo.

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Prerequisiti per Derivate di esponenziale e logaritmo

I prerequisiti per le derivate di esponenziale e logaritmo sono:

Funzione esponenziale

La funzione esponenziale è un elevamento a potenza in cui la base è un numero positivo e l'esponente dipende dalla variabile £$ x $£. Quindi, se la base è £$ a>0 $£, allora la derivata prima della funzione esponenziale £$ f(x)=a^x $£ è £$ f'(x)=a^x \ln(a) $£ Se la base è il numero di Nepero £$ e $£, allora la funzione esponenziale ha derivata uguale a se stessa: £$ f(x)=e^x \rightarrow f'(x)=e^x $£ Per la dimostrazione della regola di derivazione della funzione esponenziale usiamo la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale e il limite notevole dell'esponenziale in base £$e$£. È per questo che compare £$ f(x)=\ln (a) $£ nella formula.

Derivata del logaritmo

La funzione logaritmica: £$ f(x)=log_a (x) $£ è un logaritmo in base £$a$£ in cui l'argomento dipende da £$x$£.
La derivata di una funzione logaritmica in base £$ a $£ qualsiasi è £$ f'(x)=\frac{1}{x}log_a (e) $£.
Se la base è il numero di Nepero £$ e $£, allora la derivata del logaritmo naturale è l'inverso dell'argomento: £$ f(x)=\ln (x) \rightarrow f'(x)=\frac{1}{x} $£
Per la dimostrazione della regola di derivazione della funzione logaritmica dobbiamo ricordare la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale e il limite notevole del logaritmo naturale. È per questo che compare £$ f(x)=log_a (e) $£ nella formula.

Trovi gli esercizi su questi argomenti in questa lezione.

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