Derivate fondamentali

Cerchi le formule delle derivate fondamentali? In questa lezione trovi tutte le derivate di funzioni elementari e le loro dimostrazioni. Calcola le derivate delle funzioni potenza.

Scopri le regole utili per calcolare la derivata delle funzioni potenza. La stessa regola vale per calcolare le derivate delle funzioni polinomiali, anche delle funzioni costanti e radice.

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Prerequisiti per imparare le derivate fondamentali

I prerequisiti per imparare le derivate fondamentali sono:

Funzione costante

La derivata prima di una costante è nulla: £$ f(x)=c \rightarrow f'(x)=0 $£

La derivata descrive la variazione di una funzione. Se la funzione è una costante, allora non cambia, cioè ha variazione nulla, e quindi ha derivata nulla.

Funzione potenza

Le funzioni potenza sono della forma £$ f(x)=x^n $£ dove £$ n $£ è un qualsiasi numero intero o razionale (una frazione). La derivata prima di una funzione potenza è £$ f'(x)=nx^{(n-1)} $£. Per la dimostrazione della formula dobbiamo ricordare la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale.

Potenza con esponente negativo

Le funzioni £$ f(x)=\frac{1}{x} $£ o, per esempio, £$ f(x)=\frac{1}{x^3} $£ sono delle funzioni potenza con esponente negativo . Per trasformarle in funzioni potenza dobbiamo usare la proprietà delle potenze: £$ \frac{1}{x^n}=x^{-n}$£. Dopo questa trasformazione possiamo ancora applicare la regola delle funzioni potenza che conosciamo. Quindi se £$ n < 0 $£ è un numero intero o razionale (una frazione), allora la funzione £$ f(x)=x^n $£ ha derivata £$ f'(x)=n x^{(n-1)} $£

Funzione radice

Le funzioni £$ f(x)=\sqrt{x} $£ o, per esempio, £$ f(x)=\sqrt[4]{x^3} $£ sono radici, cioè funzioni potenza con una frazione come esponente . Per trasformarle in una funzione potenza con esponente frazionario dobbiamo usare la proprietà delle potenze: £$ \sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}$£. Dopo questa trasformazione possiamo ancora applicare la regola delle funzioni potenza che conosciamo. Quindi se £$ n$£ è un numero razionale, cioè una frazione, allora la funzione £$ f(x)=x^n $£ ha derivata £$ f'(x)=n x^{(n-1)} $£

Trovi gli esercizi su questi argomenti nella prossima lezione.

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