Derivate di funzioni composte e inverse

Impara a trovare la formula della derivata di una funzione composta o inversa. Risolvi tutti gli esercizi per diventare un asso nel calcolo delle derivate!

Fa parte delle regole del calcolo delle derivate anche la derivazione di funzioni inverse come per esempio l’arcoseno o l’arcotangente.

Gli esercizi svolti e gli esempi spiegati nelle video pillole saranno molto utili per capire e imparare le regole del calcolo delle derivate.

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Prerequisiti per imparare il calcolo delle derivate

I prerequisiti per imparare il calcolo delle derivate sono:

Come derivare una funzione composta

Hai imparato a derivare le somme, i prodotti e i quozienti di funzioni elementari, e se hai una funzione composta? Una funzione composta è una funzione di funzione, cioè, per esempio, £$h(x)=\ln (sen \ x)$£, quindi è una funzione che ha per argomento un'altra funzione.
Comederivare una funzione composta? La regola per derivare una funzione di funzione si chiama anche regola della catena o derivata “a cipolla” perché devi derivare, di seguito tutte le funzioni “componenti” ossia tutte quelle che trovi una dentro l’altra, partendo da quella più esterna, fino ad arrivare a quella più interna e devi poi moltiplicarle fra loro.

Quindi, per esempio, se le funzioni sono due, £$f$£ e £$g$£, la derivata di £$f(g(x))$£ è £$ [f(g(x))]’=f’(g(x)) \cdot g’(x)$£
Perciò se £$h(x)=\ln(sen \ x)$£, le funzioni componenti sono £$f(x)=\ln (g(x))$£ e £$g(x)=sen \ x $£. La derivata è. £$h'(x)=\frac{1}{sen \ x} \cdot cos \ x$£

Come derivare una funzione composta da più funzioni

Regola di derivazione di una funzione composta da più funzioni

Trucchi: calcolo della derivata della composizione di più funzioni

Quando una funzione è composta da tre o più funzioni, come cambia la regola di derivazione? La regola per derivare una funzione composta va bene sia che le funzioni composte siano due o più. È sempre la regola della catena: bisogna moltiplicare la derivata di tutte le funzioni “componenti” ossia tutte quelle che trovi una dentro l’altra, partendo da quella più esterna.

Abbiamo visto che se le funzioni sono due, £$f$£ e £$g$£, la derivata di £$f(g(x))$£ è £$[f(g(x))]’=f’(g(x)) \cdot g’(x)$£.
Se la funzione è composta da tre funzioni: £$f$£, £$g$£ e £$h$£ allora la derivata di £$f(g(h(x)))$£ è: £$[f(g(h(x)))]’=f’(g(h(x))) \cdot g’(h(x)) \cdot h’(x)$£...e così via.

Come derivare una funzione elevata un’altra funzione

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La regola per derivare la funzione composta è detta regola della "catena" perché derivi le funzioni componenti a partire dalla più esterna e le moltiplichi. Una particolare funzione composta da due funzioni è questa: date £$ f $£ e £$g$£, ottieni £$ [f(x)]^{g(x)} $£.
Come derivare unafunzione elevata un'altra funzione? Potresti applicare la regola di derivazione delle derivate composte, ma prima dovresti passare al logaritmo e fare alcuni passaggi algebrici, allora studiamo la regola generale per velocizzare i calcoli. La derivata di questa particolare funzione esponenziale composta è £$ \left( [f(x)]^{g(x)} \right)’=f(x)^ {g(x)} \left[ g’(x) \ln (f(x))+ \frac{g(x)f’(x)}{f(x)}\right] $£. Se, per esempio, hai le due funzioni £$f(x)=sen \ x$£ e £$g(x)=x^2$£, e la funzione £$h(x)=(sen \ x)^{x^2}$£, che ha derivata: £$h'(x)=(sen \ x)^{x^2} \cdot \left[2x \ln (sen \ x)+ \frac{x^2 \cdot cos \ x}{sen \ x} \right]$£.

Come calcolare la derivata delle funzioni inverse

Regola: come fare la derivata delle funzioni inverse

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Derivata arcoseno, arcocoseno, arcotangente e arcocotangente

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Ora che hai imparato a derivare la somma, il prodotto, il quoziente e la composizione di funzioni puoi completare il calcolo delle derivate imparando a calcolare la derivata di funzioni inverse e unendo tutte queste formule negli esercizi.
Imparare a calcolare la derivata della funzione inversa è utile quando hai funzioni come l'arcoseno o l'arcotangente, che non hanno derivata elementare ma che sono le funzioni inverse delle funzioni goniometriche elementari.
Partiamo quindi dalla formula principale: la derivata di una funzione inversa è uguale all’inverso della derivata della funzione di partenza. £$y=f(x)$£ ha inversa £$x=f^{-1}(y)$£ e la sua derivata è: £$(f^{-1}(y))’=\frac{1}{f’(x)}$£.
Partendo da questa regola trovi le derivate delle funzioni arcoseno, arcocoseno, arcotangente, arcocotangente che sono le funzioni inverse delle funzioni goniometriche seno, coseno, tangente, cotangente. Trovi tutte le formule che vuoi nella tabella delle derivate qui sopra!

Esercizi svolti sul calcolo delle derivate

Esercizio svolto: funzione logaritmo composto con un quoziente

Esercizio svolto: funzione composta con il prodotto seno e coseno

Sai calcolare la derivata di una somma, di un prodotto, di un quoziente, della composizione di funzioni e di funzioni inverse. Tieni a mente tutte le formuledel calcolo delle derivate perché saranno utili per fare gli esercizi difficili in cui tutti questi calcoli si uniscono e si mischiano. Per aiutarti abbiamo svolto degli esercizi in cui ci sono le derivate di funzioni composte da somme, prodotti e quozienti di funzioni come logaritmo, seno, coseno, arcotangente e polinomi. Tutti gli esercizi sono svolti passo passo e indicando dei trucchi per semplificare il calcolo delle derivate!

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