Come trovare i massimi, i minimi e i flessi di una funzione

Ti sei mai chiesto quale sia la differenza tra massimi assoluti e massimi relativi di una funzione?
Il massimo è il valore più grande che una funzione assume in un intervallo. Se questo intervallo è tutto il dominio , il massimo è assoluto, se è un sottoinsieme del dominio, allora il massimo è relativo. Il minimo è il valore più piccolo che una funzione assume in un intervallo. Come per il massimo, il minimo sarà assoluto se l'intervallo è tutto il dominio della funzione, relativo se è un sottoinsieme del dominio.
In formule, questo significa che:

1. £$ x_0$£ è un massimo assoluto se £$f(x_0) \ge f(x) \ \forall x \in D_f $£
2. £$ x_0$£ è un minimo assoluto se £$f(x_0) \le f(x) \ \forall x \in D_f $£
3. £$ x_0$£ è un massimo relativo se £$f(x_0) \ge f(x) \ \forall x \in I(x_0) $£
4. £$ x_0$£ è un minimo relativo se £$f(x_0) \le f(x) \ \forall x \in I(x_0) $£.

Per la ricerca dei massimi e minimi relativi di una funzione £$f$£ devi:

• calcolare la derivata prima della funzione £$f'(x)$£;
• studiare la monotonia della funzione, cioè trovare il segno della derivata prima £$f'(x) \ge 0$£:
• i punti in cui si annulla la derivata £$f'(x)=0$£ sono i punti stazionari, cioè i candidati ad essere punti di massimo o minimo
• in un punto stazionario:
• se il segno della derivata passa da maggiore a minore allora il punto è un massimo relativo;
• se il segno della derivata passa da minore a maggiore allora è un minimo relativo.

Ma siamo sicuri che possiamo fare così? Certo, grazie ai teoremi sulle funzioni derivabili. Lo studio della monotonia, cioè del segno della derivata, è una condizione sufficiente perché ci sia un massimo ed un minimo, ed è una conseguenza del teorema di Lagrange. Condizione sufficiente significa che se la derivata prima è positiva e poi negativa allora la funzione ammette un massimo o un minimo. Abbiamo la condizione necessaria dal teorema di Fermat: se una funzione è definita in £$[a,b]$£ e derivabile almeno in £$ (a,b)$£ ammette massimo (o minimo) relativo nel punto £$ x_0$£, allora £$ f’(x_0)=0 $£. Questo teorema esprime una condizione necessaria, ma non sufficiente. Questo significa che, se la funzione ammette massimo o minimo relativo in £$ x_0 $£, allora sicuramente £$ f’(x_0)=0 $£. Ma non è detto che se £$ f’(x_0)=0 $£ sicuramente la funzione ammette un massimo o un minimo relativo in £$ x_0 $£.