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Equazioni differenziali di primo ordine: come si risolvono

Agostino Sapienza

Agostino Sapienza

INSEGNANTE DI MATEMATICA

Sono nato a Reggio Calabria il 07/10/85. Mi sono diplomato nel 2005 all'Istituto Magistrale Statale Tommaso Gulli. Ho conseguito la laurea triennale in Relazioni Internazionali a Messina e in Economia Internazionale a Padova. Dopo un pò di anni negli studi commercialisti sono stato chiamato per una supplenza covid nella classe di insegnamento A47. Ho poi conseguito l'abilitazione a Trieste nel sostegno e sono entrato di ruolo nel 2023

Nella matematica, affrontare concetti come le equazioni differenziali di primo grado e i problemi di Cauchy può sembrare una sfida, ma non se hai a disposizione le giuste spiegazioni e degli esercizi con cui fare pratica!

In questa lezione imparerai:

  • Che cos’è un’equazione differenziale? Definizione di equazione differenziale e di ordine
  • Equazioni differenziali del tipo £$y’=f(x)$£: quali sono e come risolverle
  • Equazioni differenziali a variabili separabili: quali sono e come risolverle
  • Equazioni differenziali lineari: quali sono e qual è la formula risolutiva
  • Problemi di Cauchy: cos’è e come risolverlo

Cos’è un’equazione differenziale di primo ordine

Le equazioni differenziali rappresentano le relazioni che coinvolgono una funzione sconosciuta e le sue derivate. Sono fondamentali in diversi campi della scienza e dell’ingegneria per descrivere come un sistema cambia nel tempo.

In altre parole, un’equazione differenziale è un’equazione in cui compare una funzione £$y(x)$£ come incognita, e le sue derivate successive. Possono comparire derivate di ogni ordine.

L’ordine di un’equazione differenziale è dato dall’ordine massimo della derivata che compare nell’equazione. Le equazioni differenziali di primo grado sono un tipo particolare di equazioni differenziali in cui la derivata più alta è di primo ordine.

Come risolvere le equazioni differenziali di primo ordine

Equazioni differenziali del tipo £$y’=f(x)$£

Equazioni differenziali a variabili separabili

Equazioni differenziali lineari

Le equazioni differenziali del tipo £$y’=f(x)$£ sono di primo ordine perché compare solo la derivata prima.

Per risolvere le equazioni differenziali di primo ordine del tipo £$y’=f(x)$£:

  1. scrivi l’equazione come £$\frac{dy}{dx}=f(x) \Rightarrow dy=f(x)dx$£
  2. risolvi integrando a destra e sinistra: £$y=\int f(x) dx$£.

Le equazioni differenziali a variabili separabili sono quelle che puoi scrivere come prodotto di una funzione nell’incognita £$x$£ e una nell’incognita £$y$£: £$y’=p(x)q(y)$£.

Per risolvere un’equazione differenziale a variabili separabili:

  1. scriviamo £$y’=\frac{dy}{dx} \Rightarrow dy=p(x)q(y)dx$£
  2. risolviamo integrando a destra e sinistra rispetto alle due variabili: £$\int \frac{dy}{q(y)}=\int p(x) dx$£.

Le equazioni differenziali lineari sono quelle in cui l’incognita £$y$£ non è argomento di un’altra funzione ed ha sempre ordine 1.

Le equazioni differenziali lineari di primo ordine sono della forma £$y’=a(x)y+b(x)$£.

La formula per risolvere un’equazione differenziale lineare di primo ordine è £$y(x)=e^{\int a(x) dx} \left[c+\int b(x)e^{-\int a(x) dx} \ dx\right]$£.

Come risolvere i problemi di Cauchy con le equazioni differenziali di primo ordine

Un problema di Cauchy è composto da:

  • un’equazione differenziale
  • una condizione iniziale, ossia il valore che deve assumere la funzione incognita in un suo punto

Per risolvere un problema di Cauchy dobbiamo:

  • risolvere l’equazione differenziale
  • imporre la condizione iniziale per determinare un’unica soluzione

Esercizi sulle equazioni differenziali di primo ordine

Eccoci arrivati al fatidico momento dell’interrogazione: niente panico!

Anche se parliamo di equazioni differenziali, non c’è da aver paura.

Basta guardare la lezione e allenarsi. Prova a risolvere questi esercizi sulle equazioni differenziali!

Sfida sulle equazioni differenziali di primo ordine

Testo della sfida

Soluzione alla sfida