Equazioni differenziali di primo ordine e problemi di Cauchy

Impara a risolvere le equazioni differenziali di primo ordine del tipo y'=f(x), a variabili separabili e lineari. Scopri cos'è un problema di Cauchy e come si risolve.

Equazioni differenziali di primo ordine a variabili separabili e non e problemi di Cauchy: impara a riconoscerli. Come risolvere un'equazione differenziale di primo ordine? Integra entrambi i membri oppure, per quelle lineari, applica la formula!

In questa lezione imparerai:

  • Che cos'è un'equazione differenziale? Definizione di equazione differenziale e di ordine
  • Equazioni differenziali del tipo £$y'=f(x)$£: quali sono e come risolverle
  • Equazioni differenziali a variabili separabili: quali sono e come risolverle
  • Equazioni differenziali lineari: quali sono e qual è la formula risolutiva
  • Problemi di Cauchy: cos'è e come risolverlo

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Prerequisiti per imparare le equazioni differenziali di primo ordine e i problemi di Cauchy

Il prerequisito per imparare le equazioni differenziali di primo ordine e i problemi di Cauchy è:

Cos'è un'equazione differenziale

Un'equazione differenziale è un'equazione in cui compare una funzione £$y(x)$£ come incognita, e le sue derivate successive. Possono comparire derivate di ogni ordine.

L'ordine di un'equazione differenziale è dato dall'ordine massimo della derivata che compare nell'equazione.

Come risolvere le equazioni differenziali

Equazioni differenziali del tipo £$y'=f(x)$£

Equazioni differenziali a variabili separabili

Equazioni differenziali lineari

Le equazioni differenziali del tipo £$y'=f(x)$£ sono di primo ordine perché compare solo la derivata prima.

Per risolvere le equazioni differenziali di primo ordine del tipo £$y'=f(x)$£:

  1. scrivi l'equazione come £$\frac{dy}{dx}=f(x) \Rightarrow dy=f(x)dx$£
  2. risolvi integrando a destra e sinistra: £$y=\int f(x) dx$£.

Le equazioni differenziali a variabili separabili sono quelle che puoi scrivere come prodotto di una funzione nell'incognita £$x$£ e una nell'incognita £$y$£: £$y'=p(x)q(y)$£.

Per risolvere un'equazione differenziale a variabili separabili:

  1. scriviamo £$y'=\frac{dy}{dx} \Rightarrow dy=p(x)q(y)dx$£
  2. risolviamo integrando a destra e sinistra rispetto alle due variabili: £$\int \frac{dy}{q(y)}=\int p(x) dx$£.

Le equazioni differenziali lineari sono quelle in cui l'incognita £$y$£ non è argomento di un'altra funzione ed ha sempre ordine 1.

Le equazioni differenziali lineari di primo ordine sono della forma £$y'=a(x)y+b(x)$£.

La formula per risolvere un'equazione differenziale lineare di primo ordine è £$y(x)=e^{\int a(x) dx} \left[c+\int b(x)e^{-\int a(x) dx} \ dx\right]$£.

Come risolvere i problemi di Cauchy

Un problema di Cauchy è composto da:

  • un'equazione differenziale
  • una condizione iniziale, ossia il valore che deve assumere la funzione incognita in un suo punto

Per risolvere un problema di Cauchy dobbiamo:

  • risolvere l'equazione differenziale
  • imporre la condizione iniziale per determinare un'unica soluzione

Esercizi sulle equazioni differenziali

Eccoci arrivati al fatidico momento dell'interrogazione: niente panico!

Anche se parliamo di equazioni differenziali, non c'è da aver paura.

Basta guardare la lezione e allenarsi. Prova a risolvere questi esercizi sulle equazioni differenziali!

Sfida sulle equazioni differenziali

L'EquazioCocco è tornato! Prova a capire la dinamica della popolazione degli equaziococchi grazie alle equazioni differenziali!

Esercizi svolti Equazioni differenziali di primo ordine e problemi di Cauchy

Ecco gli esercizi su Equazioni differenziali di primo ordine e problemi di Cauchy in ordine di difficoltà crescente, completi di procedimento, spiegazione e soluzione. Ogni esercizio è in forma di domanda con 3 o 4 opzioni di risposta. Gli esercizi sono interattivi e danno feedback immediato. Ogni esercizio spiegato ti aiuta a studiare e ripassare velocemente per l'interrogazione ed il compito su Equazioni differenziali. Allenati con gli esercizi svolti di matematica, accumula punti e entra in classifica! Completa tutti i livelli di difficoltà dell'esercitazione per migliorare i tuoi voti in Relazioni e funzioni

Esercizi Equazioni differenziali di primo ordine e problemi di Cauchy - 1

Esercizi Equazioni differenziali di primo ordine e problemi di Cauchy - 2

Esercizi Equazioni differenziali di primo ordine e problemi di Cauchy - 3

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