Prerequisiti per imparare le equazioni differenziali di primo ordine e i problemi di Cauchy
Il prerequisito per imparare le equazioni differenziali di primo ordine e i problemi di Cauchy è:
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Equazioni differenziali di primo ordine e problemi di Cauchy
Impara a risolvere le equazioni differenziali di primo ordine del tipo y'=f(x), a variabili separabili e lineari. Scopri cos'è un problema di Cauchy e come si risolve.
Equazioni differenziali di primo ordine a variabili separabili e non e problemi di Cauchy: impara a riconoscerli. Come risolvere un'equazione differenziale di primo ordine? Integra entrambi i membri oppure, per quelle lineari, applica la formula!
In questa lezione imparerai:
- Che cos'è un'equazione differenziale? Definizione di equazione differenziale e di ordine
- Equazioni differenziali del tipo £$y'=f(x)$£: quali sono e come risolverle
- Equazioni differenziali a variabili separabili: quali sono e come risolverle
- Equazioni differenziali lineari: quali sono e qual è la formula risolutiva
- Problemi di Cauchy: cos'è e come risolverlo
Contenuti di questa lezione su: Equazioni differenziali di primo ordine e problemi di Cauchy
Cos'è un'equazione differenziale
Un'equazione differenziale è un'equazione in cui compare una funzione £$y(x)$£ come incognita, e le sue derivate successive. Possono comparire derivate di ogni ordine.
L'ordine di un'equazione differenziale è dato dall'ordine massimo della derivata che compare nell'equazione.
Come risolvere le equazioni differenziali
Equazioni differenziali del tipo £$y'=f(x)$£
Equazioni differenziali a variabili separabili
Equazioni differenziali lineari
Le equazioni differenziali del tipo £$y'=f(x)$£ sono di primo ordine perché compare solo la derivata prima.
Per risolvere le equazioni differenziali di primo ordine del tipo £$y'=f(x)$£:
- scrivi l'equazione come £$\frac{dy}{dx}=f(x) \Rightarrow dy=f(x)dx$£
- risolvi integrando a destra e sinistra: £$y=\int f(x) dx$£.
Le equazioni differenziali a variabili separabili sono quelle che puoi scrivere come prodotto di una funzione nell'incognita £$x$£ e una nell'incognita £$y$£: £$y'=p(x)q(y)$£.
Per risolvere un'equazione differenziale a variabili separabili:
- scriviamo £$y'=\frac{dy}{dx} \Rightarrow dy=p(x)q(y)dx$£
- risolviamo integrando a destra e sinistra rispetto alle due variabili: £$\int \frac{dy}{q(y)}=\int p(x) dx$£.
Le equazioni differenziali lineari sono quelle in cui l'incognita £$y$£ non è argomento di un'altra funzione ed ha sempre ordine 1.
Le equazioni differenziali lineari di primo ordine sono della forma £$y'=a(x)y+b(x)$£.
La formula per risolvere un'equazione differenziale lineare di primo ordine è £$y(x)=e^{\int a(x) dx} \left[c+\int b(x)e^{-\int a(x) dx} \ dx\right]$£.
Come risolvere i problemi di Cauchy
Un problema di Cauchy è composto da:
- un'equazione differenziale
- una condizione iniziale, ossia il valore che deve assumere la funzione incognita in un suo punto
Per risolvere un problema di Cauchy dobbiamo:
- risolvere l'equazione differenziale
- imporre la condizione iniziale per determinare un'unica soluzione
Esercizi sulle equazioni differenziali
Eccoci arrivati al fatidico momento dell'interrogazione: niente panico!
Anche se parliamo di equazioni differenziali, non c'è da aver paura.
Basta guardare la lezione e allenarsi. Prova a risolvere questi esercizi sulle equazioni differenziali!
Sfida sulle equazioni differenziali
Testo della sfida
Soluzione alla sfida
L'EquazioCocco è tornato! Prova a capire la dinamica della popolazione degli equaziococchi grazie alle equazioni differenziali!
