Equazioni differenziali di secondo ordine e problemi di Cauchy

Le equazioni differenziali del tipo £$y''=f(x)$£ sono di secondo ordine perché compare la derivata seconda.

Per risolvere le equazioni differenziali di secondo ordinedel tipo £$y''=f(x)$£:

1. scrivi la derivata seconda come la derivata prima rispetto a £$x$£ di £$y'$£: £$y''=\frac{d}{dx} \left( \frac{dy}{dx} \right)$£
2. riscrivi l'equazione come £$\frac{d}{dx} \left( \frac{dy}{dx} \right)=f(x) \Rightarrow d \frac{dy}{dx}=f(x)dx$£
3. risolvi integrando due volte: £$y=\int \left( \int f(x) dx \right) dx$£.

Le equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti sono della forma £$y''+ay'+by=0$£.

Per risolverle:

1. sostituisci £$y=e^{\lambda x}$£ e le sue derivate £$y'= \lambda e^{\lambda x}$£, £$y''= \lambda^2 e^{\lambda x}$£, ...
2. risolvi l'equazione caratteristica associata all'equazione differenziale £$ \lambda^2 + a \lambda+b=0$£
3. trova le soluzioni a seconda del segno del £$\Delta$£ dell'equazione caratteristica:
   • £$\Delta > 0$£ £$\Rightarrow$£ £$y(x)=c_1e^{\lambda_1 x}+c_2e^{\lambda_2 x}$£
   • £$\Delta = 0$£ £$\Rightarrow$£ £$y(x)=c_1e^{\lambda_1 x}(c_1+c_2 x)$£
   • £$\Delta < 0$£ abbiamo due soluzioni complesse coniugate £$\alpha \pm i \beta$£ e le soluzioni dell'equazione sono: £$y(x)= e^ {\alpha x} \left[c_1 cos(\beta x)+ c_2 sen(\beta x) \right]$£.

Un problema di Cauchy del secondo ordine è composto da:

• un'equazione differenziale di secondo ordine;
• due condizioni iniziali, una per la funzione e una per la derivata prima.

Ecco alcuni esercizi sulle equazioni differenziali di secondo grado!

Allenati con questi e con gli altri che trovi nei tre livelli di esercizi.

Dopo diventerai un drago nel risolvere le equazioni differenziali e i problemi di Cauchy.