Equazioni differenziali di secondo ordine e problemi di Cauchy

Impara a risolvere le equazioni differenziali di secondo ordine del tipo y''=f(x) e di secondo ordine lineari omogenee a coefficienti costanti. Scopri cos'è un problema di Cauchy e come si risolve.

Le equazioni differenziali di secondo ordine sono quelle in cui compare la derivata seconda. Risolvere un'equazione differenziale di secondo ordine significa trovare un insieme di soluzioni. Con il problema di Cauchy hai due condizioni sulla funzione che permettono di trovare una soluzione unica.

In questa lezione imparerai:

  • Equazioni differenziali del tipo £$ y''=f(x)$£: come risolverle
  • Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti: cosa sono, come risolverle e quali sono le soluzioni
  • Problemi di Cauchy: da cosa è composto un problema di Cauchy di secondo ordine

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Prerequisiti per imparare le equazioni differenziali di secondo ordine e i problemi di Cauchy

Il prerequisto per imparare le equazioni differenziali di secondo ordine e i problemi di Cauchy è:

Equazioni differenziali del tipo £$ y''=f(x) $£

Le equazioni differenziali del tipo £$y''=f(x)$£ sono di secondo ordine perché compare la derivata seconda.

Per risolvere le equazioni differenziali di secondo ordinedel tipo £$y''=f(x)$£:

  1. scrivi la derivata seconda come la derivata prima rispetto a £$x$£ di £$y'$£: £$y''=\frac{d}{dx} \left( \frac{dy}{dx} \right)$£
  2. riscrivi l'equazione come £$\frac{d}{dx} \left( \frac{dy}{dx} \right)=f(x) \Rightarrow d \frac{dy}{dx}=f(x)dx$£
  3. risolvi integrando due volte: £$y=\int \left( \int f(x) dx \right) dx$£.

Equazioni differenziali omogenee a coefficienti costanti

Le equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti sono della forma £$y''+ay'+by=0$£.

Per risolverle:

  1. sostituisci £$y=e^{\lambda x}$£ e le sue derivate £$y'= \lambda e^{\lambda x}$£, £$y''= \lambda^2 e^{\lambda x}$£, ...
  2. risolvi l'equazione caratteristica associata all'equazione differenziale £$ \lambda^2 + a \lambda+b=0$£
  3. trova le soluzioni a seconda del segno del £$\Delta$£ dell'equazione caratteristica:
    • £$\Delta > 0$£ £$\Rightarrow$£ £$y(x)=c_1e^{\lambda_1 x}+c_2e^{\lambda_2 x}$£
    • £$\Delta = 0$£ £$\Rightarrow$£ £$y(x)=c_1e^{\lambda_1 x}(c_1+c_2 x)$£
    • £$\Delta < 0$£ abbiamo due soluzioni complesse coniugate £$\alpha \pm i \beta$£ e le soluzioni dell'equazione sono: £$y(x)= e^ {\alpha x} \left[c_1 cos(\beta x)+ c_2 sen(\beta x) \right]$£.

Problemi di Cauchy del secondo ordine

Un problema di Cauchy del secondo ordine è composto da:

  • un'equazione differenziale di secondo ordine;
  • due condizioni iniziali, una per la funzione e una per la derivata prima.

Un po' di esercizi

Ecco alcuni esercizi sulle equazioni differenziali di secondo grado!

Allenati con questi e con gli altri che trovi nei tre livelli di esercizi.

Dopo diventerai un drago nel risolvere le equazioni differenziali e i problemi di Cauchy.

Sfida!

Un cubetto di legno di massa £$10 \text{Kg}$£, appoggiato al pavimento è collegato alla parete tramite una molla di costante elastica pari a £$2,5 \text{N/m}$£.

Tra il cubetto e il pavimento non c’è attrito! Inizialmente la molla è ferma, poi la allunghi di £$x_0 \text{m}$£. Da questa posizione, lasciando la molla, questa ondeggia avanti e in dietro. Qual è l’equazione del moto della molla?

Prova a risolvere la sfida sulle equazioni differenziali di secondo ordina!

Esercizi svolti Equazioni differenziali di secondo ordine e problemi di Cauchy

Ecco gli esercizi su Equazioni differenziali di secondo ordine e problemi di Cauchy in ordine di difficoltà crescente, completi di procedimento, spiegazione e soluzione. Ogni esercizio è in forma di domanda con 3 o 4 opzioni di risposta. Gli esercizi sono interattivi e danno feedback immediato. Ogni esercizio spiegato ti aiuta a studiare e ripassare velocemente per l'interrogazione ed il compito su Equazioni differenziali. Allenati con gli esercizi svolti di matematica, accumula punti e entra in classifica! Completa tutti i livelli di difficoltà dell'esercitazione per migliorare i tuoi voti in Relazioni e funzioni

Esercizi Equazioni differenziali di secondo ordine e problemi di Cauchy - 1

Esercizi Equazioni differenziali di secondo ordine e problemi di Cauchy - 2

Esercizi Equazioni differenziali di secondo ordine e problemi di Cauchy - 3

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