Studio di funzione goniometrica - esempio

Come studiare una funzione goniometrica?

Ricordi cos'è una funzione goniometrica? Beh sicuramente ti ricorderai delle funzioni seno e coseno che hai usato tanto in trigonometria. Ora però devi tracciare il grafico di una funzione goniometrica. Tranquillo, ci siamo noi ad aiutarti!

Appunti

Lo studio di una funzione goniometrica può sembrare difficile e pieno di insidie. In realtà le funzioni goniometriche sono molto semplici da studiare.

Questo perché le hai già viste (e ci hai già sbattuto la testa) un sacco di volte. Quindi niente panico!

Per affrontare al meglio lo studio di queste funzioni, ti suggeriamo di ripassare:

  • cosa sono le funzioni goniometriche e quali sono le loro proprietà
  • come risolvere le equazioni e le disequazioni goniometriche
  • le formule di goniometria

 

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Prerequisiti per imparare a fare lo studio di funzione goniometrica

I prerequisiti per imparare a fare lo studio di funzione goniometrica sono:

Studio di funzione goniometrica

Iniziamo lo studio della funzione £$f(x)=4sen^{2}x - 2$£. Studieremo questa funzione nell'intervallo £$[0,2\pi]$£.
Il primo passo è ricavare il dominio della funzione (cioè l'insieme delle £$x$£ che hanno immagine) ed eventuali simmetrie. In questo caso però, il dominio è praticamente già dato, perché ci viene chiesto di studiare la funzione in un intervallo. E in questo intervallo la funzione non presenta problemi di definizione (la funzione seno è continua in tutto l'insieme dei numeri reali).
Poi passiamo alla ricerca delle intersezioni con gli assi, che ci servono per iniziare a capire per dove passa il grafico della funzione.
Dopo le intersezioni con gli assi, studiamo il segno della funzione. Significa andare alla ricerca degli intervalli di positività e negatività della funzione.

Ricorda di aggiornare il grafico probabile dopo ogni passaggio. In questo modo puoi accorgerti se stai facendo qualche errore di calcolo. Infatti, tutte le informazioni devono essere coerenti e non portare a una contraddizione!

Calcolo dei limiti

In questo caso, non serve calcolare i limiti della funzione. Infatti la funzione è definita in un intervallo chiuso e limitato e in questo intervallo, la funzione è definita e continua in tutti i punti dell'intervallo, compresi gli estremi.

Il calcolo dei limiti di una funzione serve per trovare eventuali punti di discontinuità e per vedere cosa fa la funzione all'infinito. Visto che in questo caso non abbiamo nessuno di questi "problemi", possiamo tralasciare il calcolo dei limiti.

Derivata prima, massimi e minimi

Lo studio della derivata prima della funzione è fondamentale per molti aspetti:

- permette di studiare gli intervalli di monotonia della funzione, dove cioè cresce e dove decresce;

- nei punti in cui si annulla, possiamo trovare i massimi e i minimi della funzione. Ma potrebbero essere anche punti di flesso a tangente orizzontale. Diventa fondamentale lo studio del segno.

- possiamo trovare eventuali punti di non derivabilità della funzione.

Oltre a questo, ci aiuta a definire meglio il grafico probabile della funzione.

Se non ricordi come calcolare la derivata di una funzione, puoi ripassare tutto quello di cui hai bisogno nella lezione sul calcolo delle derivate.

Derivata seconda, concavità e flessi

Lo studio della derivata seconda ci aiuta a trovare gli intervalli in cui la funzione ha concavità verso l'alto e verso il basso. Nei punti in cui la funzione cambia la concavità ci possono essere dei punti di flesso, ed è importante trovarli in modo da completare e rendere più preciso il grafico della funzione.