Studio di funzione irrazionale - esempio

In questa lezione trovi lo svolgimento completo dello studio di funzione irrazionale fratta. Cosa significa "irrazionale"? Una funzione è irrazionale quando la variabile è sotto una radice. Curioso di scoprire come studiare questo tipo di funzioni? Guarda la lezione!

Appunti

Le funzioni irrazionali sono la bestia nera di molti studenti. Noi vogliamo aiutarvi perché in realtà sono funzioni facili da studiare, soprattutto se c'è una radice quadrata.
Cosa devi ripassare per studiare le funzioni razionali fratte?

Sicuramente come risolvere le equazioni irrazionali, ma anche le disequazioni irrazionali entrano in gioco, soprattutto quando devi studiare il segno della funzione.

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Prerequisiti per imparare a fare lo studio di funzione irrazionale

I prerequisiti per imparare a fare lo studio di funzione irrazionale sono:

Funzione irrazionale: studio della funzione

Iniziamo lo studio della funzione £$f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x-3}}$£. Il primo passo è ricavare il dominio della funzione (cioè l'insieme delle £$x$£ che hanno immagine) ed eventuali simmetrie. In questo caso, possiamo subito studiare il segno della funzione, visto che c'è una radice quadrata.
Poi passiamo alla ricerca delle intersezioni con gli assi, che ci servono per iniziare a capire per dove passa il grafico della funzione.
Ricorda di aggiornare il grafico probabile dopo ogni passaggio. In questo modo puoi accorgerti se stai facendo qualche errore di calcolo. Infatti, tutte le informazioni devono essere coerenti e non portare a una contraddizione!

Calcolo dei limiti

Dopo aver trovato il dominio, le intersezioni con gli assi e il segno della funzione, passiamo al calcolo dei limiti.
Come capire quali limiti calcolare? È molto semplice: scriviamo il dominio come intervallo o unione di intervalli. Poi calcoliamo i limiti agli estremi del dominio.

Ricorda che se a £$\pm \infty$£ il limite è infinito, potrebbe esserci un asintoto obliquo. Ricordi come calcolare l'asintoto obliquo? Se hai dei dubbi puoi ripassarlo nella lezione sul calcolo degli asintoti.

Derivata prima, massimi e minimi

Lo studio della derivata prima della funzione è fondamentale per molti aspetti:

- permette di studiare gli intervalli di monotonia della funzione, dove cioè cresce e dove decresce;

- nei punti in cui si annulla, possiamo trovare i massimi e i minimi della funzione. Ma potrebbero essere anche punti di flesso a tangente orizzontale. Diventa fondamentale lo studio del segno.

- possiamo trovare eventuali punti di non derivabilità della funzione.

Oltre a questo, ci aiuta a definire meglio il grafico probabile della funzione.

Se non ricordi come calcolare la derivata di una funzione, puoi ripassare tutto quello di cui hai bisogno nella lezione sul calcolo delle derivate.

Derivata seconda, concavità e flessi

Lo studio della derivata seconda ci aiuta a trovare gli intervalli in cui la funzione ha concavità verso l'alto e verso il basso. Nei punti in cui la funzione cambia la concavità ci possono essere dei punti di flesso, ed è importante trovarli in modo da completare e rendere più preciso il grafico della funzione.