Studio di funzione irrazionale con modulo - esempio

Come studiare una funzione che ha sia una radice (quindi è irrazionale) sia un valore assoluto?

Sembrerebbe difficile, in realtà è molto facile. Basta stare un po' attenti. In questa lezione vedrai lo studio completo e spiegato punto per punto di una funzione irrazionale con valore assoluto.

Appunti

La funzione che studiamo in questa lezione è una irrazionale con valore assoluto. Quindi dovremo ricordarci come trattare questi due oggetti.

Cosa dovresti ripassare prima di guardare questa lezione? Beh sicuramente le equazioni e disequazioni irrazionali e anche quelle con il modulo (o valore assoluto)

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Prerequisiti per imparare a fare lo studio di funzione irrazionale con modulo

I prerequisiti per imparare a fare lo studio di funzione irrazionale con modulo sono:

Studio di funzione irrazionale con modulo

Facciamo lo studio della funzione £$f(x)=\sqrt{|x-1|}+2$£. Il primo passo è ricavare il dominio della funzione (cioè l'insieme delle £$x$£ che hanno immagine) ed eventuali simmetrie.
Poi passiamo alla ricerca delle intersezioni con gli assi, che ci servono per iniziare a capire per dove passa il grafico della funzione.
Dopo le intersezioni con gli assi, studiamo il segno della funzione. Significa andare alla ricerca degli intervalli di positività e negatività della funzione.

Ricorda di aggiornare il grafico probabile dopo ogni passaggio. In questo modo puoi accorgerti se stai facendo qualche errore di calcolo. Infatti, tutte le informazioni devono essere coerenti e non portare a una contraddizione!

Calcolo dei limiti

Dopo aver trovato il dominio, le intersezioni con gli assi e il segno della funzione, passiamo al calcolo dei limiti.
Come capire quali limiti calcolare? È molto semplice: scriviamo il dominio come intervallo o unione di intervalli. Poi calcoliamo i limiti agli estremi del dominio.

Ricorda che se a £$\pm \infty$£ il limite è infinito, potrebbe esserci un asintoto obliquo. Ricordi come calcolare l'asintoto obliquo? Se hai dei dubbi puoi ripassarlo nella lezione sul calcolo degli asintoti.

Derivata prima, massimi e minimi

Lo studio della derivata prima della funzione è fondamentale per molti aspetti:

- permette di studiare gli intervalli di monotonia della funzione, dove cioè cresce e dove decresce;

- nei punti in cui si annulla, possiamo trovare i massimi e i minimi della funzione. Ma potrebbero essere anche punti di flesso a tangente orizzontale. Diventa fondamentale lo studio del segno.

- possiamo trovare eventuali punti di non derivabilità della funzione.

Oltre a questo, ci aiuta a definire meglio il grafico probabile della funzione.

Se non ricordi come calcolare la derivata di una funzione, puoi ripassare tutto quello di cui hai bisogno nella lezione sul calcolo delle derivate

Derivata seconda, concavità e flessi

Lo studio della derivata seconda ci aiuta a trovare gli intervalli in cui la funzione ha concavità verso l'alto e verso il basso. Nei punti in cui la funzione cambia la concavità ci possono essere dei punti di flesso, ed è importante trovarli in modo da completare e rendere più preciso il grafico della funzione.