Studio di funzione con logaritmo - esempio

Cosa succede quando devi studiare una funzione con il logaritmo?

Devi ricordare le proprietà dei logaritmi per il calcolo del dominio della funzione e poi ti toccherà risolvere delle equazioni e disequazioni logaritmiche.

Urge un bel ripasso! Forza allora, sotto con la lezione!

Appunti

Per studiare una funzione con logaritmo devi prima di tutto guarda qual è la base del logaritmo. È maggiore o minore di £$1$£? Ma questo non basta.

Ti suggeriamo di ripassare le proprietà dei logaritmi, ma anche qual è il grafico di una curva logaritmica e ovviamente come risolvere le equazioni e disequazioni logaritmiche (che ti serviranno nello studio del segno e delle intersezioni con gli assi).

Ti ricordi qual è la derivata del logaritmo? Puoi ripassarlo guardando questo video!

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Prerequisiti per imparare a fare lo studio di funzione con logaritmo

I prerequisiti per imparare a fare lo studio di funzione con logaritmo sono:

Studio di funzione logaritmica

Iniziamo lo studio della funzione £$f(x)=\ln\left(\frac{x-1}{x^2-1}\right)$£. Il primo passo è ricavare il dominio della funzione (cioè l'insieme delle £$x$£ che hanno immagine) ed eventuali simmetrie.
Poi passiamo alla ricerca delle intersezioni con gli assi, che ci servono per iniziare a capire per dove passa il grafico della funzione.
Dopo le intersezioni con gli assi, studiamo il segno della funzione. Significa andare alla ricerca degli intervalli di positività e negatività della funzione.

Ricorda di aggiornare il grafico probabile dopo ogni passaggio. In questo modo puoi accorgerti se stai facendo qualche errore di calcolo. Infatti, tutte le informazioni devono essere coerenti e non portare a una contraddizione!

Calcolo dei limiti

Dopo aver trovato il dominio, le intersezioni con gli assi e il segno della funzione, passiamo al calcolo dei limiti.
Come capire quali limiti calcolare? È molto semplice: scriviamo il dominio come intervallo o unione di intervalli. Poi calcoliamo i limiti agli estremi del dominio.

Ricorda che se a £$\pm \infty$£ il limite è infinito, potrebbe esserci un asintoto obliquo. Ricordi come calcolare l'asintoto obliquo? Se hai dei dubbi puoi ripassarlo nella lezione sul calcolo degli asintoti.

Derivata prima, massimi e minimi

Lo studio della derivata prima della funzione è fondamentale per molti aspetti:

- permette di studiare gli intervalli di monotonia della funzione, dove cioè cresce e dove decresce;

- nei punti in cui si annulla, possiamo trovare i massimi e i minimi della funzione. Ma potrebbero essere anche punti di flesso a tangente orizzontale. Diventa fondamentale lo studio del segno.

- possiamo trovare eventuali punti di non derivabilità della funzione.

Oltre a questo, ci aiuta a definire meglio il grafico probabile della funzione.

Se non ricordi come calcolare la derivata di una funzione, puoi ripassare tutto quello di cui hai bisogno nella lezione sul calcolo delle derivate

Derivata seconda, concavità e flessi

Lo studio della derivata seconda ci aiuta a trovare gli intervalli in cui la funzione ha concavità verso l'alto e verso il basso. Nei punti in cui la funzione cambia la concavità ci possono essere dei punti di flesso, ed è importante trovarli in modo da completare e rendere più preciso il grafico della funzione.