Come fare uno studio di funzione: dominio, simmetrie e segno

Lo studio di funzione unisce molti concetti e argomenti trattati nel corso di tutto il percorso passato. Per questo è la bestia nera di molti studenti. Ma basta dividere il problema in piccoli sottoproblemi e il gioco è fatto! In questa lezione vedrai come affrontare al meglio lo studio di una funzione, a partire dal calcolo del dominio e lo studio del segno: impara con tanti esempi completi di spiegazione!

Ci sono due metodi per fare lo studio di una funzione.

Il primo consiste nel seguire tutti i passaggi uno per uno. Ma quali sono?

  1. dominio
  2. (eventuali) simmetrie
  3. intersezioni con gli assi
  4. segno della funzione
  5. grafico

Ovviamente è sempre meglio aggiornare il grafico probabile ogni volta che si trovano nuove informazioni sulla funzione. In questo modo è sempre possibile accorgersi di un eventuale errore nel caso le informazioni risultino contraddittorie.

Il secondo metodo è sì più veloce, ma richiede molta attenzione e una buona conoscenza delle funzioni studiate fino a ora. In pratica si basa sul concetto di composizione di funzioni: si parte dalla funzione più "interna" per poi applicare tutte le trasformazioni dovute alla composizione di funzioni. È importante ricordare le proprietà delle funzioni che applichiamo (dominio, limiti...). È sicuramente un metodo molto veloce, ma rischioso per quelli che non ricordano (o hanno capito in parte) le funzioni studiate finora.

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Prerequisiti per imparare come fare uno studio di funzione

I prerequisiti per imparare come fare uno studio di funzione sono:

Dominio: come calcolarlo

Il primo passaggio nello studio di funzione è il calcolo del dominio. Ricordi cos'è il dominio di una funzione? È l'insieme dei valori che hanno un'immagine nell'insieme di arrivo della funzione. Nel caso di funzioni numeriche, il dominio sarà un sottoinsieme dell'insieme £$\mathbb{R}$£ dei numeri reali.

Cosa dobbiamo guardare per calcolare il dominio di una funzione:

1. Se la variabile £$x$£ è al denominatore, dobbiamo imporre che questo sia diverso da zero.
Esempio: il dominio della funzione £$y=\frac{2x}{x-1}$£ è £$D=\mathbb{R}\setminus \{1\}=(-\infty, 1)\cup (1, +\infty)$£ perché per £$x=1$£ il denominatore è uguale a zero e la funzione non è definita.

2. Se è presente una radice di indice pari, l'argomento della radice (cioè quello che sta sotto la radice) deve essere maggiore o uguale a zero.
Esempio: per trovare il dominio della funzione £$y=\sqrt{x^2-4}$£ dobbiamo risolvere la disequazione £$x^2-4\ge 0 $£ che ha come soluzione £$x \le -2 \vee x \ge 2$£. Il dominio della funzione è £$D=(-\infty,-2)\cup (2,+\infty)$£.

3. Ricorda che il logaritmo deve avere come argomento un numero positivo. Quindi se c'è un logaritmo nell'espressione della funzione, devi imporre che l'argomento sia maggiore (stretto) di zero.
Esempio: la funzione £$y=\ln(x-4)$£ ha come dominio l'insieme £$D=(4, +\infty)$£ perché deve essere £$x-4>0 \to x>4$£.

Questi sono i tre principali casi che ti troverai di fronte. Ovviamente se dovessi avere più di una di queste situazioni, dovrai risolvere il sistema con le condizioni di esistenza.
Esempio: calcoliamo il dominio della funzione £$y=\frac{1}{\ln(x)}$£. Dato che abbiamo un denominatore, questo deve essere diverso da zero quindi £$\ln(x)\ne 0 $£. Ma c'è anche il logaritmo! Quindi l'argomento deve essere positivo, cioè £$x>0$£. Allora dobbiamo risolvere il sistema:

£$\begin{cases} \ln(x)\ne 0 \\ x >0 \end{cases} \to \begin{cases} x \ne 1 \\ x >0 \end{cases}$£

Allora il dominio è l'insieme £$D=(0,1) \cup (1,+\infty)$£.

Simmetrie: funzioni pari o dispari?

Il secondo passaggio da fare in uno studio di funzione è controllare eventuali simmetrie, cioè se la funzione è pari (simmetrica rispetto all'asse £$y$£) o dispari (simmetrica rispetto all'origine degli assi). Quali sono i passaggi? Eccoli:

1. guarda il dominio della funzione: se il dominio non è simmetrico rispetto a £$0$£ allora la funzione non potrà avere simmetrie.
Esempio: se il dominio della funzione è £$D=(-\infty, 2)\cup (2,+\infty)$£ allora la funzione non ha simmetrie. Invece potrebbe essere simmetrica una funzione che ha come dominio l'insieme £$(-\infty, -1) \cup (-1,1)\cup (1,+\infty)$£ perché è un insieme simmetrico rispetto all'origine.

2. Una funzione è pari se £$f(x)=f(-x)$£. Per calcolare £$f(-x)$£ basta sostituire £$-x$£ al posto di £$x$£ nella funzione e verificare se vale l'uguaglianza.
Esempio: la funzione £$y=1-x^2$£ è pari perché £$f(-x)=1-(-x)^2=1-x^2=f(x)$£.

3. Una funzione è dispari se £$f(-x)=-f(x)$£. In questo caso, basta verificare l'uguaglianza delle due espressioni.
Esempio: £$f(x)=x^3$£ è dispari perché £$f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)$£.

Se una funzione è simmetrica, possiamo studiarla solo per £$x\ge 0 $£ e poi fare la simmetria del grafico trovato.

Intersezioni con gli assi

Trovare dove la funzione da studiare interseca gli assi è importante per iniziare a capire quale sarà il grafico probabile. Per trovare le intersezioni con gli assi basta mettere a sistema la funzione con l'equazione degli assi (uno alla volta).

Intersezione asse £$x$£: £$\begin{cases} y=f(x) \\ y=0 \end{cases}$£

Intersezione asse £$y$£: £$\begin{cases} y=f(x) \\ x=0 \end{cases}$£

Segno della funzione

Studiare il segno della funzione serve a capire dove passa il grafico della funzione. Infatti, trovando gli intervalli di positività e negatività, è possibile escludere alcune parti di piano e iniziare a descrivere il possibile andamento della funzione.

Come affrontare questo passaggio? Semplice. Basta risolvere la disequazione £$f(x)\ge 0 $£. Una volta risolta, possiamo cancellare le parti di piano che sappiamo non essere attraversate dalla funzione.

Esempio: studiamo il segno della funzione £$y=\ln(x)$£, cioè risolviamo £$\ln(x)\ge 0$£. Abbiamo £$x\ge 1$£. Quindi tra £$0$£ e £$1$£ la funzione è negativa e possiamo cancellare la parte delle £$x$£ positive perché sappiamo che il grafico della funzione non passa da lì. Invece nella parte in cui £$x$£ è maggiore di £$1$£, cancelliamo la parte negativa perché la funzione è positiva.

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