Come fare uno studio di funzione: limiti e derivate - esempio

Qui impareri a completare uno studio di una funzione, con il calcolo dei limiti e delle derivate

Lo studio di funzione è l'obiettivo di ogni studente arrivato all'ultimo anno delle superiori. Unisce molti concetti e argomenti studiati in passato. Nella lezione precedente potrai trovare le parti iniziali dello studio di funzione, che fanno parte del programma dei primi tre anni.

Appunti

Ci sono due metodi per fare lo studio di una funzione.

Il primo consiste nel seguire tutti i passaggi uno per uno. Ma quali sono?

  1. dominio
  2. (eventuali) simmetrie
  3. intersezioni con gli assi
  4. segno della funzione

Questi sono i passaggi da fare per iniziare a fare uno studio di funzione, li puoi trovare nella lezione precedente. In questa lezione scoprirai come proseguire nello studio di funzione:

  1. limiti
  2. calcolo della derivata prima, monotonia, massimi e minimi
  3. calcolo della derivata seconda, concavità, flessi
  4. grafico

Ovviamente è sempre meglio aggiornare il grafico probabile ogni volta che si trovano nuove informazioni sulla funzione. In questo modo è sempre possibile accorgersi di un eventuale errore nel caso le informazioni risultino contraddittorie.

Il secondo metodo è sì più veloce, ma richiede molta attenzione e una buona conoscenza delle funzioni studiate fino a ora. In pratica si basa sul concetto di composizione di funzioni: si parte dalla funzione più "interna" per poi applicare tutte le trasformazioni dovute alla composizione di funzioni. È importante ricordare le proprietà delle funzioni che applichiamo (dominio, limiti...). È sicuramente un metodo molto veloce, ma rischioso per quelli che non ricordano (o hanno capito in parte) le funzioni studiate finora.

Accedi per sempre a tutte le lezioni FREE con video ed esercizi spiegati!

Prerequisiti per imparare come fare uno studio di funzione

I prerequisiti per imparare come fare uno studio di funzione sono:

Calcolare i limiti di una funzione

Il calcolo dei limiti di una funzione è importante per capirne il comportamento all'infinito e vicino ai punti critici del dominio, dove ci sono delle discontinuità della funzione.

Per capire quali limiti calcolare, è necessario guardare il dominio della funzione. Infatti basta calcolare i limiti nei punti che sono estremi del dominio.

Esempio: se il dominio della funzione è l'insieme £$\mathbb{R}=(-\infty, +\infty) $£ allora ci basta calcolare £$\lim\limits_{x\to \pm \infty}f(x)$£.
Se invece il dominio della funzione dovesse essere £$(-\infty, 1)\cup (1,+\infty)$£ allora, oltre a calcolare i limiti a £$\pm \infty$£, dobbiamo calcolare £$\lim\limits_{x\to 1^{-}}f(x)$£ e £$\lim\limits_{x \to 1^{+}}f(x)$£ per capire come si comporta la funzione vicino al punto in cui si spezza il dominio, per capire di che tipo di punto di discontinuità si tratta.

Nel caso £$\lim\limits_{x\to \pm \infty}f(x) = \infty$£ la funzione potrebbe avere un asintoto obliquo. Per calcolarlo dobbiamo:

1. calcolare £$\lim\limits_{x\to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=m$£: se questo limite è finito (e diverso da zero) allora questo è uguale al coefficiente angolare dell'asintoto obliquo. Altrimenti la funzione non ha asintoto obliquo;

2. se il limite precedente è finito (e diverso da zero) dobbiamo calcolare £$\lim\limits_{x\to \pm \infty}f(x)-mx=q$£ cioè troviamo il termine noto del nostro asintoto obliquo.

Derivata prima: studio dei massimi e dei minimi

Lo studio della derivata prima della funzione ci permette di:

1. trovare gli intervalli di monotonia della funzione: dove cresce e dove decresce studiando il segno della derivata prima;

2. calcolare i punti di massimo, di minimo e i flessi a tangente orizzontale: dove la derivata, la funzione può avere un massimo (se a sinistra la derivata è positiva e a destra negativa), un minimo (se a sinistra la derivata è negativa e a destra è positiva) oppure un flesso a tangente orizzontale (se la derivata non cambia segno in corrispondenza del punto in cui la derivata si annulla);

3. trovare eventuali punti di non derivabilità, calcolando i limiti della derivata vicino agli estremi del dominio della derivata.

Derivata seconda, concavità e flessi

Lo studio della derivata seconda della funzione ci permette di:

1. trovare gli intervalli in cui la funzione è concava verso l'alto (quando la derivata seconda è positiva) oppure concava verso il basso (quando la derivata seconda è negativa). Per farlo basta studiare il segno della derivata seconda;

2. calcolare i punti di flesso a tangente obliqua che sono i punti in cui la funzione cambia la concavità e la derivata prima ha un valore finito. I punti di flesso a tangente obliqua sono quelli che annullano la derivata seconda.