La curva esponenziale

Tracciamo nel piano cartesiano il grafico della funzione £$y=a^x$£ con £$a>0$£ e diverso da £$1$£, cioè riportiamo sull'asse delle ascisse i valori dell'argomento £$x$£ e sull'asse delle ordinate i corrispondenti valori di £$a^x$£.
La funzione esponenziale £$y=f(x)=a^x$£è definita per ogni valore di £$x$£. Però la base deve essere sempre positiva!
Dobbiamo distinguere due casi:

1. £$0<a<1$£
2. £$a>1$£.

Quali sono le proprietà di questa curva? Abbiamo visto che ogni funzione ha il proprio dominio e il proprio condominio. Un'altra caratteristica è la monotonia.
Per la funzione esponenziale con £$0<a<1$£ possiamo scrivere:

1. Dominio: £$\mathbb{R}$£, tutti i numeri reali.
2. Codominio: £$\mathbb{R^+}$£, tutti i numeri reali positivi (dato che la base deve essere sempre positiva, tutte le sue potenze sono positive!).
3. Monotonia: la curva è sempre decrescente nel suo dominio.

Prendendo valori di £$x$£ sempre più grandi (cioè man mano che tende a £$+\infty$£), la curva si avvicina sempre di più all'asse £$x$£, senza mai toccarlo: l'asse delle ascisse è un asintoto orizzontale.

Per la funzione esponenziale con £$a>1$£ possiamo scrivere:

1. Dominio: £$\mathbb{R}$£, tutti i numeri reali;
2. Codominio: £$\mathbb{R^+}$£, tutti i numeri reali positivi;
3. Monotonia: la curva è sempre crescente nel suo dominio.

Osserviamo che, prendendo valori di £$x$£ negativi sempre più piccoli (cioè man mano che £$x$£ tende a £$-\infty$£), la curva si avvicina sempre di più all'asse £$x$£ senza mai toccarla: l'asse delle ascisse è un asintoto orizzontale. La curva si avvicina all'asse £$x$£ con ascisse negative in modulo sempre più grandi.

Adesso possiamo analizzare funzioni un po' «fantasiose» in cui l'incognita compare sia alla base sia all'esponente.

Ovvero, possiamo considerare funzioni del tipo £$y=[f(x)]^{g(x)}$£ che hanno dominio £$f(x)>0$£ (ovviamente dove esiste £$g(x)$£!).

Hai capito tutto su come si rappresenta la funzione esponenziale?

Prova a verificare le tue conoscenze con questi esercizi sul grafico della funzione esponenziale!