La curva esponenziale

Scopri la curva esponenziale e in particolare vediamo il caso con il valore di a (della base) compreso fra 0 e 1 e poi il caso in cui a è maggiore di 1. Ma puoi succedere di comporre più funzioni: come fare? Qui trovi tutta la spiegazione!

Cosa è la curva esponenziale? Vuoi imparare a disegnare il grafico? Come possiamo fare la composizione di funzioniesponenziali? Passiamo dalla funzione esponenziale al suo grafico ed impariamo a comporla con altre funzioni!

In questa video lezione imparerai

  • Curva esponenziale con 0: qual è il suo dominio, codominio e qual è il suo grafico;
  • Curva esponenziale con a>1: quale è il suo dominio, codominio e quale è il suo grafico;
  • Composizione di funzioni: funzioni in cui l'incognita compare sia alla base che all'esponente.

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Prerequisiti per imparare la curva esponenziale

 Il prerequisito per imparare la curva esponenziale è:

Grafico dell'esponenziale con base tra 0 e 1

Tracciamo nel piano cartesiano il grafico della funzione £$y=a^x$£ con £$a>0$£ e diverso da £$1$£, cioè riportiamo sull'asse delle ascisse i valori dell'argomento £$x$£ e sull'asse delle ordinate i corrispondenti valori di £$a^x$£.
La funzione esponenziale £$y=f(x)=a^x$£è definita per ogni valore di £$x$£. Però la base deve essere sempre positiva!
Dobbiamo distinguere due casi:

  1. £$0<a<1$£
  2. £$a>1$£.

Quali sono le proprietà di questa curva? Abbiamo visto che ogni funzione ha il proprio dominio e il proprio condominio. Un'altra caratteristica è la monotonia.
Per la funzione esponenziale con £$0<a<1$£ possiamo scrivere:

  1. Dominio: £$\mathbb{R}$£, tutti i numeri reali.
  2. Codominio: £$\mathbb{R^+}$£, tutti i numeri reali positivi (dato che la base deve essere sempre positiva, tutte le sue potenze sono positive!).
  3. Monotonia: la curva è sempre decrescente nel suo dominio.

Prendendo valori di £$x$£ sempre più grandi (cioè man mano che tende a £$+\infty$£), la curva si avvicina sempre di più all'asse £$x$£, senza mai toccarlo: l'asse delle ascisse è un asintoto orizzontale.

Curva esponenziale con base maggiore di 1

Per la funzione esponenziale con £$a>1$£ possiamo scrivere:

  1. Dominio: £$\mathbb{R}$£, tutti i numeri reali;
  2. Codominio: £$\mathbb{R^+}$£, tutti i numeri reali positivi;
  3. Monotonia: la curva è sempre crescente nel suo dominio.

Osserviamo che, prendendo valori di £$x$£ negativi sempre più piccoli (cioè man mano che £$x$£ tende a £$-\infty$£), la curva si avvicina sempre di più all'asse £$x$£ senza mai toccarla: l'asse delle ascisse è un asintoto orizzontale. La curva si avvicina all'asse £$x$£ con ascisse negative in modulo sempre più grandi.

Composizione di funzioni

Adesso possiamo analizzare funzioni un po' «fantasiose» in cui l'incognita compare sia alla base sia all'esponente.

Ovvero, possiamo considerare funzioni del tipo £$y=[f(x)]^{g(x)}$£ che hanno dominio £$f(x)>0$£ (ovviamente dove esiste £$g(x)$£!).

All'interrogazione potrebbero chiederti...

Hai capito tutto su come si rappresenta la funzione esponenziale?

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Il prezzo della carne continua a crescere? Ma sai di quanto? Riesci a rappresentare graficamente come cresce questo prezzo?

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Esercizi svolti La curva esponenziale

Ecco gli esercizi su La curva esponenziale in ordine di difficoltà crescente, completi di procedimento, spiegazione e soluzione. Ogni esercizio è in forma di domanda con 3 o 4 opzioni di risposta. Gli esercizi sono interattivi e danno feedback immediato. Ogni esercizio spiegato ti aiuta a studiare e ripassare velocemente per l'interrogazione ed il compito su Esponenziali. Allenati con gli esercizi svolti di matematica, accumula punti e entra in classifica! Completa tutti i livelli di difficoltà dell'esercitazione per migliorare i tuoi voti in Relazioni e funzioni

Esercizi La curva esponenziale - 1

Esercizi La curva esponenziale - 2

Esercizi La curva esponenziale - 3

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