Prerequisiti per imparare la curva esponenziale e le trasformazioni geometriche
I prerequisiti per imparare la curva esponenziale e le trasformazioni geometriche sono:
Scopri come applicare delle traslazioni geometriche alla curva esponenziale. In particolare vediamo le traslazioni lungo gli assi, le simmetrie, le omotetie e i grafici con i valori assoluti.
Vuoi conoscere le principali trasformazioni geometriche della curva esponenziale? Come si applicano traslazioni, simmetrie e omotetie all'esponenziale? Non preoccuparti, guarda questa lezione!
In questa lezione imparerai:
I prerequisiti per imparare la curva esponenziale e le trasformazioni geometriche sono:
Il grafico di £$ y=a^x $£, con £$a>0$£ e diverso da £$1$£, viene traslato in direzione orizzontale (lungo l'asse £$x$£) o verticale (lungo l'asse £$y$£) se inseriamo davanti alla potenza:
Vediamo le trasformazioni che subisce il grafico di una funzione esponenziale quando si applicano alcune di queste operazioni, prendendo come esempio il grafico dell'esponenziale con base £$e=2,71...$£, cioè il numero di Nepero.
Prendiamo questo come grafico base dato che le funzioni esponenziali, al variare della base, si assomigliano un po' tutte!
Traslazione in direzione orizzontale: £$ y=e^{x+a} $£
Traslazione in direzione verticale: £$ y=e^x+b $£
Applichiamo un'omotetia quando moltiplichiamo l'esponente, o l'intera potenza, per un coefficiente £$k$£.
Attenzione! Le omotetie sono trasformazioni nel piano che hanno la proprietà di dilatare o contrarre le figure.
Se applichiamo un'omotetia all'esponente: £$ y=e^{kx} $£, la trasformazione è orizzontale (cioè la curva si schiaccia contro l'asse £$y$£ e la trasformazione avviene lungo l'asse £$x$£). In particolare, abbiamo:
Invece, se applichiamo un'omotetia all'intera potenza: £$ y=ke^x $£, la trasformazione è verticale (cioè avviene lungo l'asse £$y$£). In particolare, abbiamo:
Prima di scoprire cosa succede con coefficienti negativi, studiamone uno in particolare, ovvero il caso £$k=-1$£.
La trasformazione è un'isometria, perché £$|k|=1$£. In particolare è una simmetria:
Vediamo ora come cambia la curva quando il coefficiente dell'omotetia è negativo.
L'ultimo caso da esaminare è quello che vede coinvolti i valori assoluti.
In particolare, vediamo cosa succede se il modulo viene applicato all'esponente.
Liberiamoci del modulo e distinguiamo i due casi:
£$ y=e^{|x|}=\begin{cases} e^x \ \ \ \ \text{ se } x\ge0 \\ e^{-x} \ \ \text{ se } x<0\end{cases} $£
In sostanza, disegniamo la curva base dove le ascisse sono positive, e la sua simmetrica rispetto all'asse £$y$£ dove le ascisse sono negative.
Attenzione! Dato che il codominio della funzione esponenziale è l'insieme dei numeri reali positivi, se applichiamo il modulo a tutta la potenza, non cambia niente!
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