La curva esponenziale e le trasformazioni geometriche

Il grafico di £$ y=a^x $£, con £$a>0$£ e diverso da £$1$£, viene traslato in direzione orizzontale (lungo l'asse £$x$£) o verticale (lungo l'asse £$y$£) se inseriamo davanti alla potenza:

• valori assoluti,
• somme o differenze nell'argomento,
• coefficienti numerici.

Vediamo le trasformazioni che subisce il grafico di una funzione esponenziale quando si applicano alcune di queste operazioni, prendendo come esempio il grafico dell'esponenziale con base £$e=2,71...$£, cioè il numero di Nepero.
Prendiamo questo come grafico base dato che le funzioni esponenziali, al variare della base, si assomigliano un po' tutte!
Traslazione in direzione orizzontale: £$ y=e^{x+a} $£

• Il grafico viene spostato verso sinistra se £$a>0$£ di un intervallo pari a £$|a|$£
• Il grafico viene spostato verso destra se £$a<0$£ di un intervallo pari a £$|a|$£.

Traslazione in direzione verticale: £$ y=e^x+b $£

• Il grafico viene spostato verso l'alto se £$b>0$£ di un intervallo pari a £$|b|$£
• Il grafico viene spostato verso il basso se £$b<0$£ di un intervallo pari a £$|b|$£.

Applichiamo un'omotetia quando moltiplichiamo l'esponente, o l'intera potenza, per un coefficiente £$k$£.
Attenzione! Le omotetie sono trasformazioni nel piano che hanno la proprietà di dilatare o contrarre le figure.
Se applichiamo un'omotetia all'esponente: £$ y=e^{kx} $£, la trasformazione è orizzontale (cioè la curva si schiaccia contro l'asse £$y$£ e la trasformazione avviene lungo l'asse £$x$£). In particolare, abbiamo:

• Compressione se £$k>1$£: il grafico base viene compresso orizzontalmente, cioè lungo l'asse £$x$£.
• Dilatazione se £$0<k<1$£: il grafico base viene dilatato orizzontalmente, cioè lungo l'asse £$x$£.

Invece, se applichiamo un'omotetia all'intera potenza: £$ y=ke^x $£, la trasformazione è verticale (cioè avviene lungo l'asse £$y$£). In particolare, abbiamo:

• Compressione se £$0<k<1$£: la curva «base» viene compressa verticalmente, cioè lungo l'asse £$y$£: è come se cercassimo di «schiacciare» verticalmente.
• Dilatazione se £$k>1$£: è come se tirassimo la curva verso l'alto, spostando l'intersezione con l'asse £$y$£ in base al valore del coefficiente £$k$£.

Prima di scoprire cosa succede con coefficienti negativi, studiamone uno in particolare, ovvero il caso £$k=-1$£.
La trasformazione è un'isometria, perché £$|k|=1$£. In particolare è una simmetria:

• £$ y=e^{-x} $£ è la curva che si ottiene da quella di partenza disegnando la sua simmetrica rispetto all'asse £$y$£
• £$ y=-e^x $£ è la curva che si ottiene da quella di partenza disegnando la sua simmetrica rispetto all'asse £$x$£
• £$ y=-e^{-x} $£ è la curva che si ottiene componendo le due simmetrie, ovvero applicando prima quella rispetto all'asse £$x$£ e poi quella rispetto all'asse £$y$£ (o viceversa): troviamo quindi la simmetrica rispetto all'origine.

Vediamo ora come cambia la curva quando il coefficiente dell'omotetia è negativo.

• Per la funzione £$ y=e^{kx} $£ con £$k<0$£ valgono le stesse cose che abbiamo detto con £$k>0$£, solo che dobbiamo considerare la simmetrica rispetto all'asse £$y$£!
  Dobbiamo quindi applicare una composizione di trasformazioni: prima un'omotetia e poi una simmetria!
• Per la funzione £$ y=ke^x $£ con £$k<0$£ valgono le stesse cose che abbiamo detto con £$k>0$£, solo che dobbiamo considerare la simmetrica rispetto all'asse £$x$!
  Dobbiamo quindi applicare una composizione di trasformazioni: prima un'omotetia e poi una simmetria!

L'ultimo caso da esaminare è quello che vede coinvolti i valori assoluti.
In particolare, vediamo cosa succede se il modulo viene applicato all'esponente.
Liberiamoci del modulo e distinguiamo i due casi:

£$ y=e^{|x|}=\begin{cases} e^x \ \ \ \ \text{ se } x\ge0 \\ e^{-x} \ \ \text{ se } x<0\end{cases} $£

In sostanza, disegniamo la curva base dove le ascisse sono positive, e la sua simmetrica rispetto all'asse £$y$£ dove le ascisse sono negative.

Attenzione! Dato che il codominio della funzione esponenziale è l'insieme dei numeri reali positivi, se applichiamo il modulo a tutta la potenza, non cambia niente!

Sei pronto all'interrogazione sul grafico della funzione esponenziale e le sue trasformazioni?

Prova a risolvere questi esercizi e verifica le tue conoscenze!