Disequazioni esponenziali: cosa sono e come risolverle

Una disequazione è esponenziale quando ha un'incognita all'esponente.

Le disequazioni esponenziali sono riconducibili a una delle quattro forme: £$a^x<b, a^x>b, a^x\ge b, a^x\le b$£.

Prima di tutto, dato che gli esponenziali sono sempre positivi, se £$b\le0$£ sappiamo che:

1. £$a^x<b$£ non ha soluzioni;
2. £$a^x>b$£ è soddisfatta per ogni valore di £$x$£.

Utilizzeremo gli stessi metodi risolutivi che abbiamo visto per le equazioni.
Attenzione! Il verso della disequazione cambia a seconda che la base dell'esponenziale è £$>$£ o £$< 1$£.

Per capire bene, aiutiamoci analizzando i grafici della funzione esponenziale nei due diversi casi.

• Caso 1: Base £$a>1$£
  Scegliamo due punti dell'asse £$ x $£, in modo che £$x_1<x_2$£
  Vediamo che i valori corrispondenti £$a^{x_1}$£ e £$a^{x_2}$£ sono nello stesso ordine £$a^{x_1}<a^{x_2}$£.
  Quando risolviamo la disuguaglianza tra gli esponenti di una disequazione esponenziale in cui la base è £$a>1$£, dobbiamo mantenere il verso della disequazione.
• Caso 2: Base £$0<a<1$£
  Scegliamo due punti dell'asse £$ x $£, in modo che £$x_1<x_2$£
  Le ordinate corrispondenti £$a^{x_1}$£ e £$a^{x_2}$£ sono nell'ordine opposto £$a^{x_1}>a^{x_2}$£.
  Quando risolviamo la disuguaglianza tra gli esponenti di una disequazione esponenziale in cui la base è £$0<a<1$£, dobbiamo cambiare il verso della disequazione.