Potenze e loro proprietà

Ripassa le potenze e vediamo insieme le potenze a esponente razionale e irrazionale. Fai un ripasso anche delle proprietà delle potenze prima di cominciare lo studio degli esponenziali.

Vuoi ripassare le potenze e le loro proprietà anche nei casi di esponenti non interi? Vuoi imparare le potenze a esponente razionale e irrazionale? Tutte questo ti servirà quando studierai meglio gli esponenziali!

In questa lezione imparerai:

  • Potenze a esponente razionale: quando una funzione ad esponente razionale è definita
  • Potenze a esponente irrazionale: quando una funzione ad esponente irrazionale è definita
  • Proprietà delle potenze: quali valgono quando l'esponente è irrazionale

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Prerequisiti per imparare le potenze e le loro proprietà

I prerequisiti per imparare le potenze e le loro proprietà sono:

Potenze a esponente razionale

Abbiamo studiato le potenze come «moltiplicazioni ripetute»: £$2^4=2\cdot2\cdot2\cdot2=16$£
Ora però, invece di parlare solo di potenze (intese come veri e propri numeri), introduciamo la funzione esponenziale, dove l'incognita compare all'esponente £$f(x)=a^x$£.

Il nostro problema è: come deve essere il numero reale affinché la funzione esista … cioè «sia definita»? Al variare dell'esponente £$x$£ abbiamo diverse possibilità.

Iniziamo a considerare esponenti come numeri interi, cioè £$x\in\mathbb{Z}$£

  • £$x>0$£: £$a^x$£ è definita per qualsiasi £$a$£
  • £$x=0$£: £$a^x$£ è definita per £$a$£ diverso da £$0$£
  • £$x<0$£: £$a^x$£ è definita per £$a$£ maggiore di £$0$£

Adesso consideriamo esponenti razionali (frazioni!), cioè £$x\in\mathbb{Q}$£:

  • £$x>0$£: £$a^x$£ è definita per qualsiasi £$a$£ maggiore o uguale a £$0$£
  • £$x=0$£: £$a^x$£ è definita per £$a$£ diverso da £$0$£
  • £$x<0$£: £$a^x$£ è definita per £$a$£ maggiore di £$0$£

In sostanza, escludendo il caso particolare di esponente nullo, quando l'esponente è una frazione possiamo lavorare solo con basi positive, altrimenti arriveremmo a situazioni non accettabili.

Potenze a esponente irrazionale

A questo punto, la domanda che sorge spontanea è: possiamo considerare anche esponenti irrazionali? Ha senso scrivere un'espressione come £$ 5^{\sqrt{2}} $£?

La risposta è si! Possiamo cercare di riassumere la dimostrazione così:

  • Il numero £$\sqrt2$£ è un numero irrazionale non periodico, cioè dopo la virgola ha infinite cifre che si susseguono senza un preciso ordine.
  • Le successioni di numeri decimali finiti (cioè razionali!)
    1,4 1,41 1,414 1,4142 ... e 1,5 1,42 1,415 1,4143 ...
    approssimano £$\sqrt2$£ rispettivamente per difetto e per eccesso.
  • Le successioni di numeri £$5^{1,4}$£ £$5^{1,41}$£ £$5^{1,414}$£ £$5^{1,4142}$£ .... £$5^{1,5}$£ £$5^{1,42}$£ £$5^{1,415}$£ £$5^{1,4143}$£ approssimano il numero reale , che quindi esiste!

Possiamo fare lo stesso ragionamento per una qualsiasi base positiva!
In particolare, possiamo distinguere due casi:

  1. £$a>1, x>0$£ al crescere dell'esponente, le potenze £$a^x$£ diventano sempre più grandi.
    La potenza £$a^x$£ con esponente £$x$£ irrazionale è quell'unico numero reale che è:
    • maggiore di tutte le potenze di a con esponenti razionali £$x$£ che approssimano per difetto;
    • minore di tutte le potenze a di con esponenti razionali £$x$£ che approssimano per eccesso.
  2. £$a<1, x>0$£ al crescere dell'esponente, le potenze £$a^x$£ diventano sempre più piccole.
    La potenza £$a^x$£ con esponente £$x$£ irrazionale è quell'unico numero reale che è:
    • minore di tutte le potenze a di con esponenti razionali £$x$£ che approssimano per difetto
    • maggiore di tutte le potenze a di con esponenti razionali £$x$£ che approssimano per eccesso.

Infine, quando l'esponente è irrazionale, valgono le proprietà che già conosciamo:

  • £$1^x=1$£ per qualunque esponente irrazionale £$x$£
  • £$0^x=0$£ per qualunque esponente irrazionale £$x$£ positivo
  • £$a^0=1$£ per qualunque base reale a positiva
  • £$a^{-x}=\frac{1}{a^x}$£ per qualunque base reale a positiva

Proprietà delle potenze

Anche quando l'esponente è irrazionale, valgono le proprietà delle potenze.

  • Prodotto di potenze con la stessa base £$a^x\cdot a^y=a^{x+y}$£
  • Quoziente di potenze con la stessa base £$a^x:a^y=a^{x-y}$£
  • Potenza di potenza £$(a^x)^y=a^{xy}$£
  • Prodotto di potenze con stesso esponente £$a^x\cdot b^x=(a\cdot b)^x$£
  • Quoziente di potenze con lo stesso esponente £$a^x: b^x=(a: b)^x$£

All'interrogazione potrebbero chiederti...

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