Tabella integrali

Come calcolare gli integrali? In questa lezione puoi ripassare le formule per calcolare gli integrali indefiniti e la formula per calcolare il volumi dei solidi di rotazione!

2017-02-06 11:22:15

Come calcolare gli integrali? Ti devi ricordare prima di tutto cosa significa calcolare l'integrale di una funzione. Ma ti può essere utile conoscere le formule degli integrali. Ecco perché abbiamo deciso di darti una mano a ricordare le formule di cui hai bisogno:

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Proprietà degli integrali

L'integrale è un operatore lineare. Infatti valgono le due proprietà di linearità:

1. lineare rispetto alla somma £$\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx + \int g(x)dx $£
2. lineare rispetto al prodotto per una costante £$\int k\cdot f(x)dx=k\cdot \int f(x)dx$£

Integrali immediati

£$\begin{array}{*{20}{|c|c|c|c|}}\hline{\text{Potenze ed esponenziali}}\\ \hline{\int x^{\alpha} dx = \frac{x^{\alpha + 1}}{\alpha +1}+c, \ \alpha \ne -1}\\ \hline {\int \frac{1}{x}dx=\ln |x| +c} \\ \hline {\int e^{x} dx =e^{x}+c} \\ \hline {\int a^{x}dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+c} \\ \hline \end{array}$£

£$\begin{array}{*{20}{|cccc|c|c|c|}}\hline{\text{Funzioni goniometriche}}\\ \hline{\int sen\,x\,dx=-cos\,x+c}\\ \hline {\int cos\,x \,dx=sen\,x +c} \\ \hline {\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=arcsen\,x+c} \\ \hline {\int \frac{1}{1+x^2}dx=arctg\,x +c} \\ \hline \end{array}$£

Integrali la cui primitiva è una funzione composta

£$\begin{array}{*{20}{|c|c|c|c|}}\hline{\text{Potenze ed esponenziali}}\\ \hline{\int [f(x)]^{\alpha}\cdot f'(x) dx = \frac{[f(x)]^{\alpha + 1}}{\alpha +1}+c, \ \alpha \ne -1}\\ \hline {\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln |f(x)| +c} \\ \hline {\int f'(x)\cdot e^{f(x)} dx =e^{f(x)}+c} \\ \hline {\int f'(x)\cdot a^{f(x)}dx=\frac{a^{f(x)}}{\ln a}+c} \\ \hline \end{array}$£

£$\begin{array}{*{20}{|cccc|c|c|c|}}\hline{\text{Funzioni goniometriche}}\\ \hline{\int f'(x)\cdot sen\,f(x)\,dx=-cos\,f(x)+c}\\ \hline {\int f'(x)\cdot cos\,f(x) \,dx=sen\,f(x) +c} \\ \hline {\int \frac{f'(x)}{\sqrt{a^2-[f(x)]^2}}dx=arcsen\,\frac{f(x)}{|a|}+c} \\ \hline {\int \frac{1}{a^2+[f(x)]^2}dx=\frac{1}{a}arctg\,\frac{f(x)}{a} +c} \\ \hline \end{array}$£

Metodo di sostituzione: ripasso

Come calcolare £$\int f(x)dx $£ con il metodo di sostituzione? Ecco i passaggi per il calcolo dell'integrale £$\int (2x+1)^2dx$£:

1. sostituisci una "parte" della funzione con la variabile ausiliaria £$t$£ £$\Rightarrow 2x+1=t$£
2. ora trova £$x$£ in funzione di £$t$£ £$\Rightarrow x=\frac{t-1}{2}$£
3. devi sistemare il £$dx$£: basta derivare l'equazione del punto precedente a destra rispetto a £$t$£ £$\Rightarrow dx=\frac{1}{2}dt$£
4. sostituisci nell'integrale di partenza e risolvi £$\Rightarrow \int \frac{t^2}{2}dt=\frac{t^3}{6}+c$£
5. ora al posto di £$t$£ risostituisci la £$x$£ secondo la sostituzione del punto 1 £$\Rightarrow \frac{t^3}{6}+c=\frac{(2x+1)^3}{6}+c$£

Formula per l'integrazione per parti

Il metodo di integrazione per parti viene usato quando si deve calcolare l'integrale del prodotto di due funzioni. Questa è la formula

£$\int [f(x)\cdot g'(x)] dx = f(x)\cdot g(x) - \int [f'(x)\cdot g(x)]dx$£

Come scegliere chi è £$f(x)$£ e chi è £$g'(x)$£? Di solito £$g'(x)$£ è la funzione che già sappiamo integrare mentre £$f(x)$£ è la funzione con una derivata semplice o che si abbassa di grado.

Esempio: calcoliamo £$\int x\ln(x) dx$£ con il metodo di integrazione per parti:

1. scegliamo £$f(x)=\ln(x)$£ perché la derivata è semplice (e l'integrale non banale) e £$g'(x)=x$£ quindi £$f'(x)=\frac{1}{x}$£ e £$g(x)=\frac{x^2}{2}$£

2. applichiamo la formula £$\Rightarrow \int x\ln(x)dx=\frac{x^2}{2}\ln(x)-\int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}dx$£

3. calcoliamo l'integrale £$\int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}dx=\int \frac{x}{2}dx = \frac{x^2}{4}+c$£

4. abbiamo calcolato l'integrale £$\int x\ln(x)dx=\frac{x^2}{2}\ln(x)-\frac{x^2}{4}+c$£

Formula del volume dei solidi di rotazione

La formula per calcolare il volume di un solido è:

$$V=\int_a^b S(x) \ dx$$

dove £$S(x)$£ è l'area di una qualsiasi sezione del solido con un piano perpendicolare all'asse £$x$£ al variare di £$x$£ nell'intervallo £$[a,b]$£

La formula per calcolare il volume di un solido di rotazione nell'intervallo £$[a,b]$£ è:

$$V=\int_a^b \pi f^2(x) \ dx$$

dove la rotazione avviene attorno all'asse £$x$£. In caso di rotazione intorno all'asse £$y$£, è necessario fare un cambio di variabili per gli estremi dell'intervallo di integrazione e utilizzare la funzione inversa dell'integranda.

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