Le formule di Werner e la prostaferesi
Le formule di Werner e di prostaferesi rappresentano due insiemi di identità matematiche molto utili, in particolare nel campo del calcolo trigonometrico. Queste formule permettono di semplificare e risolvere espressioni matematiche che coinvolgono funzioni trigonometriche, facilitando calcoli complessi e offrendo strumenti alternativi per la manipolazione di queste funzioni.
Le formule di Werner sono un gruppo di identità che permettono di trasformare il prodotto di due funzioni trigonometriche (seno o coseno) in una somma o differenza di altre funzioni trigonometriche. Questo è particolarmente utile in situazioni dove la manipolazione diretta del prodotto di funzioni trigonometriche è complicata o non intuitiva. Utilizzando le formule di Werner, è possibile semplificare questi prodotti in espressioni più gestibili, che possono essere facilmente integrate, derivate o altrimenti manipolate.
Le formule di prostaferesi, d’altra parte, si concentrano sulla conversione della somma o della differenza di due angoli trigonometrici in un prodotto. Queste formule sono particolarmente utili nel calcolo di angoli piccoli e nella risoluzione di equazioni che altrimenti richiederebbero metodi più complessi.
Vediamo di cosa si tratta!
- Le formule di prostaferesi: definizione
- Le formule di Werner: definizione
- A cosa servono le formule di Werner
Le formule di prostaferesi: definizione
Le formule di prostaferesi sono:
- £$sen\,p+sen\,q=$££$ 2sen\left(\frac{p+q}{2}\right) \cdot cos\left(\frac{p-q}{2}\right)$£
- £$sen\,p-sen\,q=$££$ 2cos\left(\frac{p+q}{2}\right) \cdot sen \left(\frac{p-q}{2} \right)$£
- £$cos\,p+cos\,q=$££$ 2cos\left(\frac{p+q}{2}\right)\cdot cos\left(\frac{p-q}{2}\right)$£
- £$cos\,p-cos\,q=$££$ -2sen\left(\frac{p+q}{2}\right)\cdot sen\left(\frac{p-q}{2}\right)$£
e servono per scrivere la somma di due funzioni goniometriche (seno, coseno) come prodotto.
Le formule di Werner: definizione
Le formule di Werner sono:
- £$sen\alpha\cdot sen\beta=$££$ \frac{1}{2}[cos(\alpha-\beta)-cos(\alpha+\beta)]$£
- £$cos\alpha\cdot cos\beta= $££$\frac{1}{2}[cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha-\beta)]$£
- £$sen\alpha\cdot cos\beta=$££$ \frac{1}{2}[sen(\alpha+\beta)+sen(\alpha-\beta)]$£
Quindi se volessimo calcolare £$sen 7x\cdot sen9x$£ possiamo porre £$\alpha = 7x$£ e £$\beta = 9x$£ e usare la prima uguaglianza:
£$sen7x\cdot sen9x= \frac{1}{2}[cos(7x-9x)-cos(7x+9x)]=$£ £$\frac{1}{2}[cos(-2x)-cos(16x)]$£
A cosa servono le formule di Werner
Probabilmente, guardando le formule di prostaferesi e di Werner, ti starai chiedendo: a cosa servono? Beh sicuramente ti serviranno a risolvere alcuni esercizi di goniometria.
In realtà, l’uso di queste formule si è reso necessario per calcolare in modo più preciso possibile le rotte delle flotte che nel XVI secolo attraversavano l’oceano.
Per fare questi calcoli, era necessario trovare il risultato di una serie di moltiplicazioni “non semplici” (ricorda che non c’era la calcolatrice). Come fare?
L’algoritmo di prostaferesi
Questo algoritmo utilizza le formule di Werner per calcolare il prodotto di due numeri. Vediamo quale procedimento dobbiamo seguire:
1. Scalare: occorre spostare la virgola dei due numeri in modo da ottenere due numeri compresi tra £$-1$£ e £$1$£ (che sono i valori estremi di seno e coseno)
2. Trovare l’arcocoseno: con la tavola trigonometrica, bisogna trovare i due angoli il cui coseno è uguale ai numeri trovati al passo 1, usando l’arcocoseno
3. Sommare e sottrarre: sommiamo e sottraiamo i due angoli trovati al punto 2.
4. Media dei coseni: bisogna calcolare la media (in questo caso è la semisomma) dei valori dei coseni trovati sopra (usando anche in questo caso la tavola trigonometrica)
5. Riscalare: spostare la virgola del numero ottenuto secondo quanto fatto al punto 1, scambiando i valori di destra e sinistra.
Il risultato ottenuto è un’approssimazione del prodotto tra i due numeri. Vediamo un esempio di utilizzo dell’algoritmo di prostaferesi.
Proviamo a calcolare il prodotto tra £$10 \ 421$£ e £$367$£.
1. Scalare. Per il primo numero, spostiamo la virgola di cinque posizioni verso sinistra e otteniamo £$0{,}0421$£. Per il secondo numero, ci spostiamo verso sinistra di tre e abbiamo £$0{,}367$£
2. Arcocoseno. Usiamo la tavola trigonometrica e calcoliamo i due angoli. Otteniamo che £$arc cos (0{,}10421) \sim 84°$£ e che £$arccos(0{,}367)\sim 68°$£.
3. Sommare e sottrarre. Sommiamo e sottraiamo i due angoli e abbiamo £$84°+68° = 152°$£ e £$84°-68°=16°$£
4. Media dei coseni. Calcoliamo la media dei coseni di questi due angoli. Abbiamo che £$cos(152°) = -0{,}8829$£ e £$cos(16°)= 0{,}9613$£. Quindi la media è uguale a £$0{,}0392$£
5. Riscalare. Ora spostiamo la virgola di cinque + tre posizioni verso destra (all’inizio l’avevamo spostata a sinistra) e otteniamo £$ 3 \ 920 \ 000 $£.
Quindi il prodotto tra £$10 \ 421$£ e £$367$£ ottenuto con l’algoritmo di prostaferesi è £$3 \ 920 \ 000$£. Ora usiamo la calcolatrice: il risultato corretto è £$3 \ 824 \ 507$£.
Non ci siamo sbagliati di molto! Considerando che abbiamo approssimato i valori dei coseni e arcocoseni degli angoli, possiamo essere soddisfatti!