Formule di Werner e prostaferesi

Le formule di prostaferesi e le formule di Werner sono utili per risolvere gli esercizi in cui compaiono somme di seni e coseni di angoli diversi. Grazie a queste formule goniometriche è possibile scrivere le somme come prodotti di due fattori. Impara a semplificare i calcoli con le formule di prostaferesi e di Werner e risolvi le equazioni goniometriche!

Hai le idee poco chiare sulle formule di prostaferesi e di Werner? Non ti preoccupare! Troverai in questa lezione le risposte che cerchi!

Queste formule di goniometria sono utili quando devi risolvere espressioni del tipo

$$sen\,3\alpha + cos\,5\beta$$

Qui imparerai le formule con il loro utilizzo e vedrai che presto ti diventeranno "amiche": ti permetteranno infatti di semplificare notevolmente i calcoli e risolvere le equazioni goniometriche non sarà più un problema! 

E non finisce qui! Le formule di Werner ti serviranno anche per calcolare il prodotto tra due numeri. Scopri come funziona l'algoritmo di prostaferesi!

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Formule di prostaferesi

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Le formule di prostaferesi sono:

  • £$sen\,p+sen\,q=$££$ 2sen\left(\frac{p+q}{2}\right) \cdot cos\left(\frac{p-q}{2}\right)$£
  • £$sen\,p-sen\,q=$££$ 2cos\left(\frac{p+q}{2}\right) \cdot sen \left(\frac{p-q}{2} \right)$£
  • £$cos\,p+cos\,q=$££$ 2cos\left(\frac{p+q}{2}\right)\cdot cos\left(\frac{p-q}{2}\right)$£
  • £$cos\,p-cos\,q=$££$ -2sen\left(\frac{p+q}{2}\right)\cdot sen\left(\frac{p-q}{2}\right)$£

e servono per scrivere la somma di due funzioni goniometriche (seno, coseno) come prodotto.

Formule di Werner

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Le formule di Werner sono:

  • £$sen\alpha\cdot sen\beta=$££$ \frac{1}{2}[cos(\alpha-\beta)-cos(\alpha+\beta)]$£
  • £$cos\alpha\cdot cos\beta= $££$\frac{1}{2}[cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha-\beta)]$£
  • £$sen\alpha\cdot cos\beta=$££$ \frac{1}{2}[sen(\alpha+\beta)+sen(\alpha-\beta)]$£

Quindi se volessimo calcolare £$sen 7x\cdot sen9x$£ possiamo porre £$\alpha = 7x$£ e £$\beta = 9x$£ e usare la prima uguaglianza:

£$sen7x\cdot sen9x= \frac{1}{2}[cos(7x-9x)-cos(7x+9x)]=$£ £$\frac{1}{2}[cos(-2x)-cos(16x)]$£

A cosa servono le formule di Werner

Probabilmente, guardando le formule di prostaferesi e di Werner, ti starai chiedendo: a cosa servono? Beh sicuramente ti serviranno a risolvere alcuni esercizi di goniometria.

In realtà, l'uso di queste formule si è reso necessario per calcolare in modo più preciso possibile le rotte delle flotte che nel XVI secolo attraversavano l'oceano.
Per fare questi calcoli, era necessario trovare il risultato di una serie di moltiplicazioni "non semplici" (ricorda che non c'era la calcolatrice). Come fare?

L'algoritmo di prostaferesi

Questo algoritmo utilizza le formule di Werner per calcolare il prodotto di due numeri. Vediamo quale procedimento dobbiamo seguire:

1. Scalare: occorre spostare la virgola dei due numeri in modo da ottenere due numeri compresi tra £$-1$£ e £$1$£ (che sono i valori estremi di seno e coseno)

2. Trovare l'arcocoseno: con la tavola trigonometrica, bisogna trovare i due angoli il cui coseno è uguale ai numeri trovati al passo 1, usando l'arcocoseno

3. Sommare e sottrarre: sommiamo e sottraiamo i due angoli trovati al punto 2.

4. Media dei coseni: bisogna calcolare la media (in questo caso è la semisomma) dei valori dei coseni trovati sopra (usando anche in questo caso la tavola trigonometrica)

5. Riscalare: spostare la virgola del numero ottenuto secondo quanto fatto al punto 1, scambiando i valori di destra e sinistra.

Il risultato ottenuto è un'approssimazione del prodotto tra i due numeri. Vediamo un esempio di utilizzo dell'algoritmo di prostaferesi.

Proviamo a calcolare il prodotto tra £$10 \ 421$£ e £$367$£.

1. Scalare. Per il primo numero, spostiamo la virgola di cinque posizioni verso sinistra e otteniamo £$0{,}0421$£. Per il secondo numero, ci spostiamo verso sinistra di tre e abbiamo £$0{,}367$£

2. Arcocoseno. Usiamo la tavola trigonometrica e calcoliamo i due angoli. Otteniamo che £$arc cos (0{,}10421) \sim 84°$£ e che £$arccos(0{,}367)\sim 68°$£.

3. Sommare e sottrarre. Sommiamo e sottraiamo i due angoli e abbiamo £$84°+68° = 152°$£ e £$84°-68°=16°$£

4. Media dei coseni. Calcoliamo la media dei coseni di questi due angoli. Abbiamo che £$cos(152°) = -0{,}8829$£ e £$cos(16°)= 0{,}9613$£. Quindi la media è uguale a £$0{,}0392$£

5. Riscalare. Ora spostiamo la virgola di cinque + tre posizioni verso destra (all'inizio l'avevamo spostata a sinistra) e otteniamo £$ 3 \ 920 \ 000 $£.

Quindi il prodotto tra £$10 \ 421$£ e £$367$£ ottenuto con l'algoritmo di prostaferesi è £$3 \ 920 \ 000$£. Ora usiamo la calcolatrice: il risultato corretto è £$3 \ 824 \ 507$£.

Non ci siamo sbagliati di molto! Considerando che abbiamo approssimato i valori dei coseni e arcocoseni degli angoli, possiamo essere soddisfatti!

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