Disequazioni in due variabili

Come risolvere le disequazioni in due variabili? Ma soprattutto, cosa sono? Le disequazioni in due variabili sono disequazioni dove compaiono due incognite £$x$£ e £$y$£. Scopri come risolvere le disequazioni in due variabili, allenati con le video lezioni e gli esercizi!

Appunti

Finora ti è capitato di risolvere disequazioni in una variabile. Qual era la soluzione? Di solito un intervallo, alle volte era un’unione di intervalli. Cosa succede se le variabili sono due?
Hai imparato che quando ci sono due variabili £$x$£ e £$y$£, queste (solitamente) corrispondono alle coordinate dei punti del piano cartesiano. Quindi mentre nelle disequazioni in una variabile la soluzione rimane in una dimensione (un intervallo), nelle disequazioni in due variabili, la soluzione sarà una regione di piano, limitata o illimitata a seconda della disequazione.

Per risolvere le disequazioni in due variabili ti serve conoscere e riconoscere (bene!) le equazioni delle coniche e delle funzioni più comuni (esponenziale e logaritmo), oltre ovviamente alla retta nel piano cartesiano.

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Prerequisiti per imparare le disequazioni in due variabili

I prerequisiti per imparare le disequazioni in due variabili sono:

Le coniche: ripasso

Tempo fa (ti sembreranno passati anni) hai studiato le famigerate coniche. Ricordi cosa sono? Circonferenza, ellisse, parabola e iperbole. Sono tutte quelle figure che puoi trovare tagliando (o sezionando) un cono con un foglio, con diverse inclinazioni. Le coniche ti saranno molto utili per affrontare questo nuovo argomento.
Se pensi di essere pronto, vai pure avanti. Se invece vuoi fare prima un ripasso (di concetti e formule), clicca sull’argomento che vuoi. Tornerai più forte di prima!

Disequazioni in due variabili

Come risolvere le disequazioni che hanno due variabili? Le disequazioni in una variabile danno come soluzione un intervallo oppure una unione di intervalli. In generale siamo in una dimensione. Quindi una variabile = una dimensione. Se le variabili sono due allora la soluzione sarà in due dimensioni. Ma cosa vuol dire? E’ facile.
Partiamo da £$y=x$£. Le soluzioni di questa equazione sono tutti i punti della retta bisettrice del I e III quadrante. Quali saranno le soluzioni di £$y>x$£? Sono tutti i punti che hanno l’ordinata maggiore dell’ascissa, cioè tutti i punti che sono “sopra” la retta £$y=x$£.
L’insieme di questi punti rappresenta un semipiano, che ha quindi due dimensioni. Le disequazioni in due variabili si risolvono graficamente sul piano cartesiano:

1. metti £$=$£ al posto del segno di disuguaglianza;

2. disegna la curva;

3. la soluzione è la parte di piano che che sta sopra/sotto la curva, ma può essere anche dentro/fuori.

Una disequazione in due variabili è lineare se la curva che delimita la soluzione è una retta. La soluzione di una disequazione lineare è un semipiano.

Una disequazione è non lineare quando la curva che delimita la soluzione non è una retta. Può essere una parabola, una circonferenza, una funzione logaritmica o esponenziale.

ESEMPIO: risolviamo la disequazione £$y-e^x >0$£. Il primo passo è disegnare la curva che delimita la nostra soluzione. Mettiamo quindi il segno di uguaglianza e abbiamo £$y=e^x$£. Allora dobbiamo disegnare questa curva, che è la ben nota curva esponenziale. La soluzione della disequazione è data da tutti i punti le cui coordinate soddisfano £$y> e^x$£. Ma sono tutti i punti che sono "sopra" la curva. I punti della curva non fanno parte della soluzione, perché per loro vale l'uguaglianza che non è richiesta dall'esercizio. Quindi i punti della curva vanno tratteggiati in modo da segnalare che questi sono esclusi.

Sistemi di disequazioni in due variabili

Un sistema di disequazioni in due variabili è formato da due o più disequazioni in due variabili.
Le soluzioni del sistema è la regione di piano formata dai punti le cui coordinate verificano, contemporaneamente, tutte le disequazioni del sistema.
Graficamente, devi:

1. disegnare le curve presenti nel sistema, mettendo £$=$£ al posto del segno di disuguaglianza;

2. risolvere le singole disequazioni in due variabili;

3. considerare (o colorare se preferisci) l’intersezione delle regioni di piano. Questa sarà la soluzione del sistema.