Limiti e continuità in una funzione in due variabili

Come calcolare i limiti di una funzione in due variabili?

Nello studio delle funzioni in due variabili è necessario imparare a calcolarne i limiti. Ma questa volta non c'è solo il limite destro e sinistro da calcolare. Ci possiamo avvicinare a un punto da qualunque direzione.

Come fare? Scopri come calcolare i limiti di una funzione in due variabili e come capire se una funzione in due variabili sia continua oppure no.

Appunti

Stiamo parlando di funzioni ed è quindi impossibile non parlare del calcolo dei limiti della funzione.

Ma come si calcolano i limiti di una funzione in due variabili? La risposta è semplice: allo stesso modo di come calcolavi i limiti di una funzione in una variabile.
L'unica differenza è capire come ci si avvicina al punto in cui vogliamo calcolare il limite. In una variabile era facile: una direzione e due versi (da destra e da sinistra). In due variabili invece ci sono infiniti modi per avvicinarsi a un punto. E un limite esiste se è finito e uguale per tutte le direzioni.

Nella lezione imparerai a calcolare i limiti delle funzioni in due variabili e a verificare se una funzione è continua oppure no.

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Prerequisiti per imparare limiti e continuità in due variabili

I prerequisiti per imparare limiti e continuità in due variabili sono:

Topologia del piano: studio delle proprietà delle figure

Prima di addentrarci nel calcolo dei limiti delle funzioni in due variabili, è necessario spendere due parole sulla topologia del piano.
Cos'è la topologia? La topologia è lo studio delle proprietà delle figure.
Ovviamente a noi interessa introdurre o adattare i concetti che abbiamo imparato nello studio di funzioni in una variabile (intorno, insieme aperto o chiuso, ecc...) alle funzioni in due variabili.
Vedremo quindi cosa sono gli insiemi aperti o chiusi e le diverse caratteristiche che può avere un punto. Infatti un punto può essere:

  • interno all'insieme, se esiste almeno un intorno tutto contenuto nell'insieme
  • esterno, se esiste almeno un intorno che non ha punti dell'insieme
  • di frontiera, se in ogni intorno del punto ci sono punti dell'insieme e punti che non appartengono all'insieme
  • di accumulazione per l'insieme se per ogni intorno del punto esiste almeno un altro punto (diverso dal primo) che appartiene all'insieme.

Sicuramente tutte queste definizioni possono far girare la testa all'inizio. Ma vedrai che dopo aver visto i video, tutto sarà più chiaro!

Funzioni continue in due variabili

Le funzioni in due variabili possono essere continue oppure avere dei punti di discontinuità. La definizione di funzione continua in due variabili è la stessa di quella in una variabile.
Concettualmente, una funzione è continua quando non ha "buchi" o "salti". La definizione formale di funzione continua è:

Una funzione £$f(x,y)$£ definita in un insieme £$I$£ è continua in un punto £$P_{0}(x_{0};y_{0})$£ se esiste finito £$\lim\limits_{(x,y)\to (x_{0},y_{0})}f(x,y)$£ e questo limite è uguale al valore della funzione nel punto £$P_{0}$£.

Se la funzione è continua in tutti i punti di £$I$£, allora diremo che la funzione £$f(x,y)$£ è continua in £$I$£.

Tutte le funzioni intere sono continue in tutto £$\mathbb{R}^2$£. Per le funzioni razionali fratte invece, dobbiamo controllare che il denominatore sia diverso da zero.

ESEMPIO: la funzione £$f(x,y)=\frac{x+2y}{x-y}$£ è definita in tutti i punti di £$\mathbb{R}^2$£ tranne quelli in cui £$x-y=0 \to y=x$£. Quindi la funzione non è continua in tutti i punti della retta £$y=x$£.

Limiti di funzioni in due variabili

Il calcolo dei limiti di una funzione in due variabili è concettualmente uguale al calcolo dei limiti in una variabile. Quindi il limite in un punto esiste ed e finito se, avvicinandomi al punto, la funzione e il limite sono "vicini".
Diamo la definizione formale di limite per £$(x,y)\to (x_{P_{0}},y_{P_{0}})$£, con £$P_{0}$£ punto di accumulazione per la funzione:

La funzione £$f(x,y)$£ ha limite finito £$\ell $£ per £$P(x;y)$£ che tende a £$P_{0}(x_{0};y_{0})$£ se comunque venga scelto e fissato un numero positivo £$\varepsilon$£ esiste un intorno circolare di £$P_{0}(x_{0};y_{0})$£ tale che per ogni punto di questo intorno valga £$|f(x,y)-\ell| < \varepsilon $£.

Cosa significa tutto ciò? In pratica il limite esiste finito se, avvicinandomi al punto di accumulazione da qualsiasi direzione, la funzione assume un valore finito £$\ell$£.

La differenza con le funzioni in una variabile è il concetto di "direzione di avvicinamento": prima bastava fare il limite destro e il limite sinistro perché ci muovevamo lungo una retta. Ora ci muoviamo in uno spazio e quindi le direzioni sono infinite! Sicuramente diventa un po' più complicato.

Esercizio svolto sul calcolo dei limiti in due variabili

Calcoliamo il limite £$\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^2 + y^2 − x^3y^3}{x^2 + y^2}$£

Per prima cosa, vediamo che in £$(0,0)$£ abbiamo la forma indeterminata £$\frac{0}{0}$£. Proviamo a risolverla. Iniziamo calcolando il limite lungo le direzioni £$y=mx$£. Cosa significa? Mi avvicino al punto in cui voglio calcolare il limite lungo le rette £$y=mx$£ e vedo cosa succede. Sostituiamo e abbiamo:

£$\lim\limits_{x \to 0}\frac{x^2 + m^2 x^2 − x^3 m^3 x^3}{x^2 + m^2 x^2}= \lim\limits_{x \to 0} \frac{x^2(1 + m^2− x^4 m^3)}{x^2(1+m^2)}=1 $£.

Quindi se il limite esiste, deve essere uguale a £$1$£ perché non è possibile avere due limiti diversi. Per avere conferma di questo, possiamo provare due strade:

1. calcolare il limite lungo altre direzioni, ad esempio lungo le parabole £$y=ax^2$£ e vedere se il limite è ancora £$1$£. Questo metodo però ci permette solo di capire se il limite non esiste (in caso il risultato sia diverso da £$1$£). Nel caso venga £$1$£ non possiamo concludere nulla.

2. dimostriamo che il valore £$|f(x,y)-1| \to 0$£ che è proprio la definizione di limite.

Scegliamo la seconda strada. Per velocizzare i calcoli, facciamo una sostituzione delle coordinate. Passiamo alle coordinate polari tramite la sostituzione

$$\begin{cases}x=\rho cos\,\theta \\ y=\rho sen\,\theta \end{cases}$$

dove £$\rho $£ è la distanza del punto dall'origine degli assi, mentre £$\theta$£ è l'angolo formato dalla retta che unisce il punto all'origine e l'asse £$x$£.

Sostituiamo nell'espressione della funzione:

£$|\frac{\rho^2 cos^2 \theta + \rho^2 sen^2 \theta -\rho^6 cos^3\theta \cdot sen^3 \theta}{\rho^2 cos^2 \theta + \rho^2 sen^2\theta}-1|=|\frac{\rho^2(cos^2 \theta + sen^2 \theta -\rho^4 cos^3\theta \cdot sen^3 \theta)-\rho^2 (cos^2\theta + sen^2\theta)}{\rho^2( cos^2 \theta +sen^2\theta)}|$£.

Ora possiamo semplificare £$\rho^2$£ e usare la prima relazione fondamentale della goniometria £$cos^2\theta+sen^2\theta=1$£ e abbiamo

£$|1 -\rho^4 cos^3\theta \cdot sen^3 \theta-1|=|-\rho^4 cos^3\theta \cdot sen^3\theta| $£.

Ma questa quantità tende a £$0$£ per £$\rho \to 0$£? Intanto osserviamo che la quantità £$|cos^3\theta\cdot sen^3\theta| \le 1$£ quindi possiamo maggiorare la quantità precedente

£$|-\rho^4 cos^3\theta \cdot sen^3\theta| \le |-\rho^4|=\rho^4 \to 0$£.

Quindi abbiamo dimostrato che il limite della nostra funzione per £$(x,y)\to (0,0)$£ è uguale a £$1$£.