Come calcolare massimi e minimi di funzioni in due variabili

Ora viene il bello! Andiamo alla ricerca dei massimi e dei minimi delle funzioni in due variabili.

Questa volta, non ci basterà trovare i punti che annullano le derivate ma dovremo derivare una seconda volta. E poi non è finita ancora! Ma può succedere che i massimi e i minimi non siano liberi, ma sono costretti a stare su una curva. Ecco che dovremo calcolare i massimi e i minimi vincolati!

Appunti

Come per le funzioni in una variabile reale, anche per le funzioni in due variabili è importante saper trovare i punti di massimo e di minimo.

Ovviamente i punti di massimo sono quelli che hanno il valore più grande rispetto a tutti i punti che sono "vicini". I punti di minimo invece hanno il valore più piccolo.

Per calcolare i massimi e i minimi delle funzioni in due variabili ci servirà studiare sia le derivate parziali che le derivate seconde.

Può capitare però che lo studio dei massimi e minimi sia reso più complicato dall'introduzione di vincoli. Ma cosa sono? Beh sono delle restrizioni ai valori che può assumere una funzione. Quindi invece di cercare eventuali massimi e minimi liberi (non soggetti a vincoli) dovremmo anche studiare i massimi e minimi vincolati.
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Prerequisiti per imparare massimi e minimi di funzioni in due variabili

I prerequisiti per imparare massimi e minimi di funzioni in due variabili sono:

Massimi e minimi: definizioni

Spesso abbiamo parlato di massimi e minimi per le funzioni in una variabile reale.
Ora vediamo di generalizzare la definizione per funzioni in due variabili.

Definizione:data una funzione £$z=f(x,y)$£ definita in un insieme £$D$£, diciamo che il punto £$P_{0}(x_{0};y_{0})$£ è un punto di massimo relativo per £$f$£ se esiste un intorno del punto £$P_{0}$£ in £$D$£ tale che per tutti i punti di questo intorno vale la relazione $$f(x,y)\le f(x_{0},y_{0})$$

Allo stesso modo viene definito il punto di minimo, sostituendo £$\ge $£ a £$\le$£.

Anche per le funzioni in due variabili, vale il teorema di Weierstrass:

Se una funzione £$f$£ è continua in un insieme chiuso e limitato £$S$£, esiste in questo insieme almeno un punto in cui la funzione assume valore massimo assoluto e almeno un punto in cui assume il valore minimo assoluto.

Se vuoi ripassare il teorema per le funzioni in una variabile, vai alla lezione sui teoremi delle funzioni continue.

Massimi e minimi con le curve di livello

Il primo metodo per trovare i massimi e i minimi di una funzione in due variabili non c'entra molto con le derivate. Infatti usiamo le curve di livello, cioè le curve ottenute con una sezione della superficie con un piano orizzontale.

In pratica dobbiamo studiare le curve di livello al variare del valore di £$z=k$£:

  • se le curve tendono ad allontanarsi dal punto £$P$£ al crescere di £$k$£ allora £$P$£ è un punto di minimo
  • se le curve tendono ad avvicinarsi al punto £$P$£ al crescere di £$k$£ allora £$P$£ è un punto di massimo.

Massimi e minimi con le derivate

Come per le funzioni in una variabile reale, anche per le funzioni in due variabili ricercare i massimi e i minimi è un processo che si può fare grazie alle derivate.
Infatti, una condizione necessaria affinché un punto £$P_{0}(x_{0},y_{0})$£ sia un estremante è che le derivate parziali valutate nel punto devono essere uguali a zero, cioè:

$$\begin{cases}f_{x}(x_{0},y_{0})=0 \\ f_{y}(x_{0},y_{0})=0 \end{cases}$$

ma questo non basta. Dobbiamo affidarci alle derivate parziali seconde. Abbiamo visto che le derivate parziali seconde sono quattro e con queste possiamo costruire la matrice hessiana

$$H_{f}=\left[ \begin{matrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{matrix} \right]$$

se le derivate parziali seconde sono continue nel dominio, allora possiamo calcolare l'hessiano di £$f$£ che viene indicato con £$H(x,y)$£. L'hessiano è il determinante della matrice hessiana

$$H(x,y)=\begin{vmatrix}f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{vmatrix} = f_{xx} \cdot f_{yy} - f_{xy} \cdot f_{yx} $$

allora detto £$P_{0}(x_{0},y_{0})$£ è un punto stazionario (cioè annulla le derivate parziali prime):

1. se £$H(x_{0},y_{0})>0$£ e vale anche £$f_{xx} > 0 $£ allora £$P_{0}$£ è un punto di minimo;

2. se £$H(x_{0},y_{0}) > 0$£ e vale anche £$f_{xx} < 0 $£ allora £$P_{0}$£ è un punto di massimo;

3. se £$H(x_{0},y_{0}) < 0 $£ allora £$P_{0}$£ non è né massimo né minimo. Si dice che è un punto di sella;

4. se £$H(x_{0},y_{0}) = 0 $£ non si può dire nulla. Bisogna capire il tipo di punto usando un altro metodo, per esempio quello delle curve di livello.

Massimi e minimi vincolati: metodo elementare

In alcuni problemi (soprattutto quelli che si riferiscono a situazioni reali) le variabili sono soggette a vincoli. Questo significa che non possono assumere tutti i valori nel dominio, ma devono rispettare determinate condizioni (vincoli). Ora vedremo uno dei due metodi per determinare i massimi e i minimi vincolati.

METODO ELEMENTARE

Il primo metodo consiste nell'intersecare il vincolo con la superficie. In questo modo, la funzione diventa dipendente da una variabile. Ora basta studiare la funzione ottenuta studiando il segno della derivata prima per determinare gli eventuali massimi e minimi.
ESEMPIO: studiamo i massimi e i minimi della funzione £$z=x^2+y^3$£ soggetti al vincolo £$y=x$£. Dato che i punti cercati devono stare sulla retta £$y=x$£ sostituamo il vincolo nella funzione: £$z=x^2+x^3$£. Ora la funzione dipende solo dalla variabile £$x$£ quindi cerchiamo gli estremanti con il metodo classico, cioè con lo studio del segno della derivata: £$z'=2x+3x^2=x(2+3x)\ge 0 $£. Studiando il segno, vediamo che la derivata è positiva per £$x < -\frac{2}{3} \vee x > 0$£. La funzione avrà quindi massimo per £$x=-\frac{2}{3}$£ e minimo per £$x=0$£. Per trovare le coordinate dei punti basta sostituire i valori nella funzione.

Metodo dei moltiplicatori di Lagrange

Il secondo metodo viene chiamato metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Questo metodo segue una serie di passaggi ben precisa. Intanto, sia £$f(x,y)$£ la funzione di cui bisogna determinare i massimi e i minimi e £$g(x,y)=0$£ l'equazione del vincolo. La funzione £$f$£ deve avere le derivate parziali seconde continue e le derivate di £$g$£ rispetto a £$x$£ e rispetto a £$y$£ non devono annullarsi contemporaneamente nel dominio della funzione £$f$£. Allora possiamo costruire una nuova funzione £$L$£, detta lagrangiana, che è una combinazione lineare tra le due:

$$L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y) \quad \text{con } \lambda \in \mathbb{R}$$

La variabile £$\lambda$£ si chiama moltiplicatore di Lagrange. Allora, i punti di massimo e minimo liberi di £$L$£ sono punti di massimo e minimo vincolati per £$f$£.

A questo punto, dobbiamo procedere trovando i punti £$(x;y;\lambda)$£ che annullano contemporaneamente le derivate parziali di £$L$£. Così troviamo i punti stazionari (candidati a essere estremanti). Ma come fare a trovare una condizione sufficiente a stabilire la natura di questi punti? Usiamo la matrice hessiana orlata: $$H_{L}=\left[ \begin{matrix}0 & g_{x} & g_{y} \\ g_{x} & L_{xx} & L_{xy} \\ g_{y} & L_{yx} & L_{yy} \end{matrix}\right]$$

E ora calcoliamo il determinante di questa matrice:

£$ H(x,y,\lambda)=\begin{vmatrix}0 & g_{x} & g_{y} \\ g_{x} & L_{xx} & L_{xy} \\ g_{y} & L_{yx} & L_{yy} \end{vmatrix}= $£ £$ g_{x}g_{y}L_{xy}+g_{y}g_{x}L_{yx}-g_{y}^2 L_{xx}-L_{yy}g_{x}^2 $£

Ora, se £$P_{0}(x_{0};y_{0};\lambda_{0})$£ è un punto stazionario per £$L$£ dobbiamo controllare il segno dell'hessiano valutato in £$P_{0}$£:

1. se £$H(x_{0},y_{0},\lambda_{0})> 0$£ allora £$P_{0}$£ è un massimo libero per £$L$£ e un massimo vincolato per £$f$£;

2. se £$H(x_{0},y_{0},\lambda_{0}) < 0$£ allora £$P_{0}$£ è un minimo libero per £$L$£ e un minimo vincolato per £$f$£;

3. se £$H(x_{0},y_{0},\lambda_{0}) = 0$£ allora non si può dire nulla su £$P_{0}$£ e bisogna studiare in altro modo come si comporta la funzione £$L$£ in un intorno del punto.