Goniometria: come misurare gli angoli in gradi e radianti

Un angolo è la parte di piano compresa tra due semirette (lati), aventi la stessa origine (vertice).

Quando le due semirette coincidono, l'angolo è:

• nullo: se non è formato da alcun punto del piano
• giro: se è formato da tutti i punti del piano.

Quando le semirette sono:

• adiacenti: l'angolo è piatto
• perpendicolari: l'angolo è retto.

Un angolo:

• acuto è < di un angolo retto
• ottuso è > di un angolo retto ma < di un angolo piatto.

Per misurare un angolo, cioè calcolare la sua ampiezza, possiamo usare diverse unità di misura.

La misura più conosciuta è il grado sessagesimale, cioè la 360-esima parte dell’angolo giro. Suddividendo un angolo giro in 360 parti uguali, ognuna di queste misura esattamente 1 grado, e lo indichiamo con il simbolo 1°.

In gradi, gli angoli misurano:

• angolo nullo 0° (zero gradi)
• angolo giro 360° (360 gradi)
• angolo piatto 180° (180 gradi)
• angolo retto 90° (90 gradi).

Oltre al grado, esistono i suoi sottomultipli: i primi ed i secondi.

• 1 grado è diviso in 60 primi (‘)
• 1 primo è diviso in 60 secondi (‘‘).

Quando misuriamo gli angoli con i gradi, utilizziamo un sistema di numerazione in base 60 (cioè un sistema di 60 cifre), proprio come per l’orologio con i minuti e i secondi!

Quindi per sommare le misure degli angoli, dobbiamo fare attenzione:

• dobbiamo partire dai secondi, poi i primi, infine i gradi
• il valore massimo dei primi e dei secondi è 59. Dopo dobbiamo fare il riporto!

Un’altra unità di misura usata per gli angoli è il radiante.
Il radiante ci permette di trasformare l’ampiezza degli angoli dalla base 60 alla base 10.

Immaginiamo che l'angolo £$\alpha $£ che vogliamo misurare sia l'angolo al centro di una circonferenza. Quindi individua un arco di circonferenza di lunghezza £$l$£.

La misura in radianti di un angolo £$\alpha$£ è il rapporto tra l’arco di circonferenza £$ l $£ corrispondente all’angolo e il raggio £$r$£ della circonferenza:

£$ \alpha=\frac{misura \ dell'arco}{raggio}=\frac{l}{r}$£.

Come passare da gradi a radianti? Basta fare una proporzione:

£$\alpha ^°: 360^°=\alpha_{rad}:2\pi$£

Quindi: £$\alpha_{rad}=\frac{\alpha^°}{180^°}\pi$£ e £$\alpha^°=\frac{180^°\alpha_{rad}}{\pi}$£

L'angolo orientato è un angolo che è misurato tenendo conto della rotazione.

Se teniamo fisso uno dei lati e ruotiamo l'altro lato attorno al vertice, allora diciamo che l'angolo è

• positivo se il verso di rotazione è antiorario
• negativo se il verso di rotazione è orario.