Funzioni seno e coseno

Impara ad analizzare il seno e il coseno come funzioni di un angolo. Scopri quali sono le proprietà di queste funzioni e come sono i grafici di sinusoide e cosinusoide.

Com'è il grafico del seno e del coseno? Quali sono le caratteristiche della sinusoide e della cosinusoide? Vediamo dominio, codominio, simmetrie, monotonia e segno delle funzioni seno e coseno e poi disegniamo il loro grafico.

In questa lezione imparerai:

  • Funzioni seno e coseno:qual è il dominio ed il codominio delle funzioni seno e coseno
  • Proprietà delle funzioni seno e coseno: periodicità, simmetria, segno e monotonia delle funzioni seno e coseno
  • Sinusoide e cosinusoide: grafici delle funzioni seno e coseno

Dopo questa lezione, sarai in grado di disegnare i grafici delle funzioni seno e coseno che si chiamano, rispettivamente, sinusoide e cosinusoide.

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Prerequisiti per imparare le funzioni seno e coseno

I prerequisiti per imparare le funzioni seno e coseno sono:

Funzioni seno e coseno

Seno e coseno possono essere visti come l'ordinata e l'ascissa di un punto sulla circonferenza goniometrica. Questo punto è univocamente determinato dato l'angolo, ciò significa che posso definire seno e coseno come funzioni dell'angolo.

  • Il dominio delle funzioni seno e coseno è l'insieme dei reali £$\mathbb{R}$£ perché per ogni valore £$x$£ dell'angolo possiamo trovare un punto corrispondente sulla circonferenza goniometrica.
  • Il codominio delle funzioni seno e coseno è l'intervallo £$[-1,1]$£. Il punto appartiene alla circonferenza centrata nell'origine e di raggio 1, quindi avrà coordinate comprese fra £$-1$£ e £$1$£.

Proprietà delle funzioni seno e coseno

Le proprietà fondamentali delle funzioni seno e coseno sono:

  • la periodicità. Seno e coseno sono periodici di £$2\pi$£ cioè assumono gli stessi valori sottraendo o sommando multipli di £$2\pi$£ all'angolo £$x$£:
    • £$sen(x+2k\pi)=sen \ x$£ con £$k \in \mathbb{Z}$£;
    • £$cos(x+2k\pi)=cos \ x$£ con £$k \in \mathbb{Z}$£.
    La periodicità è utile perché basta studiare la funzione fra £$[0, 2\pi]$£ e poi riportarla uguale in tutti gli altri intervalli reali.
  • Simmetria. Analizzando due punti simmetrici rispetto all'asse £$x$£ (o all'asse £$y$£) sulla circonferenza goniometrica si trova che:
    • il coseno è una funzione pari £$cos(-x)=cos \ x $£
    • il seno è una funzione dispari £$sen(-x)=-sen \ x$£.
  • Segno e monotonia. Studiamo quando le funzioni seno e coseno sono positive, negative, nulle, crescenti o decrescenti.
    • La funzione £$ y=sen \ x$£ è:
      • positiva in £$\left( 0, \pi \right)$£
      • negativa in £$\left( \pi, 2\pi\right)$£
      • nulla in £$x=0, \pi$£
      • crescente in £$\left[0, \frac{\pi}{2} \right] \cup \left[\frac{3}{2}\pi, 2\pi \right]$£
      • decrescente in £$\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3}{2}\pi \right]$£.
    • La funzione £$ y=cos \ x$£ è:
      • positiva in £$\left[ 0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left( \frac{3}{2}\pi, 2\pi \right]$£
      • negativa in £$\left( \frac{\pi}{2}, \frac{3}{2}\pi\right)$£
      • nulla in £$x=\frac{\pi}{2}, \frac{3}{2}\pi$£
      • crescente in £$[\pi, 2\pi]$£
      • decrescente in £$[0, \pi]$£.

Sinusoide e cosinusoide

Con le informazioni viste finora sulle funzioni seno e coseno, sei in grado di disegnare il grafico di queste due funzioni:

  • sinusoide: è il grafico della funzione seno;
  • cosinusoide: è il grafico della funzione coseno.

All'interrogazione potrebbero chiederti...

Sei pronto per l'interrogazione sulle funzioni seno e coseno?

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