Funzioni tangente e cotangente

La tangente e la cotangente di un angolo rappresentate come funzioni: dominio, codominio, simmetrie, periodo e il loro grafico. Impara come puoi studiare queste funzioni più velocemente!

Come è il grafico della tangente e della cotangente? In quali punti non sono definite le funzioni tangente e cotangente? Vediamo il dominio, codominio, simmetrie, monotonia e segno delle funzioni tangente e cotangente e poi disegniamo il loro grafico.

In questa lezione imparerai:

  • Funzione tangente e cotangente: dominio e codominio delle funzioni tangente e cotangente
  • Proprietà della tangente e della cotangente: periodicità, simmetria, segno e monotonia delle funzioni tangente e cotangente
  • Grafici delle funzioni tangente e cotangente: grafico delle due funzioni e sue caratteristiche

Se hai bisogno di un ripasso rapido, ecco i grafici della funzione tangente e cotangente!

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Prerequisiti per imparare le funzioni tangente e cotangente

I prerequisiti per imparare le funzioni tangente e cotangente sono:

Le funzioni tangente e cotangente

Anche la tangente e la cotangente, come seno e coseno, possono essere viste univocamente in funzione di un angolo £$\alpha$£.

La tangente ha dominio l'insieme dei reali meno £$x=\frac{\pi}{2}+k\pi$£ con £$k $£ intero: £$\mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2}+k\pi, \ con \ k \ \in \mathbb{Z} \right\}$£.

La cotangente ha dominio l'insieme dei reali meno £$x=k\pi$£ con £$k $£ intero: £$\mathbb{R} \setminus \left\{k\pi, \ con \ k \ \in \mathbb{Z} \right\}$£.

Il codominio della tangente e della cotangente è invece tutto l'insieme £$\mathbb{R}$£ dei reali, perché possono assumere qualsiasi valore nei reali. Sono quindi funzioni suriettive.

Proprietà della tangente e della cotangente

Studiamo alcune proprietà delle funzioni tangente e cotangente che ci permettono di studiare più facilmente le due funzioni.

  • Periodicità. La tangente e la cotangente sono periodiche di 180°, cioè di £$\pi$£, quindi possiamo studiarle solo nell'intervallo £$(0, \pi)$£ e riportarle poi uguali negli altri intervalli:
    • £$tg(x +k\pi) = tg \ x $£, £$x \ne \frac{\pi}{2}+k\pi$£ con £$k$£ intero;
    • £$cotg(x +k\pi) = cotg \ x$£, £$x \ne k\pi$£ con £$k$£ intero.
  • Simmetria. La tangente e la cotangente sono simmetriche rispetto all'origine, possiamo quindi studiarle in un intervallo e poi fare la simmetria rispetto all'origine. Inoltre sfruttando la seconda relazione fondamentale della trigonometria e le proprietà di simmetria di seno e coseno puoi concludere che:
    • la tangente è una funzione dispari: £$tg(-x)=-tg \ x $£;
    • la cotangente è una funzione dispari: £$cotg(-x)=-cotg \ x $£.
  • Segno e monotonia. Studiamo il segno e la monotonia delle funzioni tangente e cotangente nell'intervallo £$(0,2\pi)$£.
    • La funzione tangente £$ y=tg \ x \ $£ è:
      • positiva in £$\left(0,\frac{\pi}{2} \right) \cup \left( \pi, \frac{3}{2}\pi \right)$£;
      • negativa in £$\left(\frac{\pi}{2}, \pi \right) \cup \left( \frac{3}{2}\pi,2\pi \right)$£;
      • nulla in £$x=0, \pi$£;
      • sempre monotona crescente, cioè è crescente in tutto l'intervallo £$\left[0,2\pi \right] \setminus \left\{\frac{\pi}{2}, \frac{3}{2}\pi \right\}$£.
    • La funzione cotangente £$ y=cotg \ x $£ è:
      • positiva in £$\left(0,\frac{\pi}{2} \right) \cup \left( \pi, \frac{3}{2}\pi \right)$£;
      • negativa in £$\left(\frac{\pi}{2}, \pi \right) \cup \left( \frac{3}{2}\pi,2\pi \right)$£;
      • nulla in £$x=\frac{\pi}{2}, \frac{3}{2}\pi $£;
      • sempre monotona decrescente, cioè decrescente in tutto l'intervallo £$\left[0,2\pi \right] \setminus \left\{0, \pi \right\}$£.

Grafici delle funzioni tangente e cotangente

Vediamo ora i due grafici della tangente e della cotangente. Notiamo che:

  • per la tangente le rette £$x=\frac{\pi}{2}+k\pi$£ con £$k$£ intero, sono asintoti;
  • per la cotangente le rette £$x=k\pi$£ con £$k$£ intero, sono asintoti.

I grafici delle funzioni tangente e cotangente si chiamano rispettivamente tangentoide e cotangentoide.

Nell'interrogazione...

Ora che hai visto sia la tangente che la cotangente come funzioni, sei pronto per l'interrogazione!

Se vuoi ripassare, prova a risolvere questi esercizi su tangente e cotangente!

Sfida su tangente e cotangente

Prova a risolvere la sfida sulle funzioni tangente e cotangente!

Riesci a capire di quale funzione è questo grafico? Allenati con la lezione e con gli esercizi!

Esercizi svolti Funzioni tangente e cotangente

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Esercizi Funzioni tangente e cotangente - 1

Esercizi Funzioni tangente e cotangente - 2

Esercizi Funzioni tangente e cotangente - 3

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