Anche la tangente e la cotangente, come seno e coseno, possono essere viste univocamente in funzione di un angolo £$\alpha$£.
La tangente ha dominio l'insieme dei reali meno £$x=\frac{\pi}{2}+k\pi$£ con £$k $£ intero: £$\mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2}+k\pi, \ con \ k \ \in \mathbb{Z} \right\}$£.
La cotangente ha dominio l'insieme dei reali meno £$x=k\pi$£ con £$k $£ intero: £$\mathbb{R} \setminus \left\{k\pi, \ con \ k \ \in \mathbb{Z} \right\}$£.
Il codominio della tangente e della cotangente è invece tutto l'insieme £$\mathbb{R}$£ dei reali, perché possono assumere qualsiasi valore nei reali. Sono quindi funzioni suriettive.
Studiamo alcune proprietà delle funzioni tangente e cotangente che ci permettono di studiare più facilmente le due funzioni.
Periodicità. La tangente e la cotangente sono periodiche di 180°, cioè di £$\pi$£, quindi possiamo studiarle solo nell'intervallo £$(0, \pi)$£ e riportarle poi uguali negli altri intervalli:
£$tg(x +k\pi) = tg \ x $£, £$x \ne \frac{\pi}{2}+k\pi$£ con £$k$£ intero;
Simmetria. La tangente e la cotangente sono simmetriche rispetto all'origine, possiamo quindi studiarle in un intervallo e poi fare la simmetria rispetto all'origine. Inoltre sfruttando la seconda relazione fondamentale della trigonometria e le proprietà di simmetria di seno e coseno puoi concludere che:
la tangente è una funzione dispari: £$tg(-x)=-tg \ x $£;
la cotangente è una funzione dispari: £$cotg(-x)=-cotg \ x $£.
Segno e monotonia. Studiamo il segno e la monotonia delle funzioni tangente e cotangente nell'intervallo £$(0,2\pi)$£.
La funzione tangente £$ y=tg \ x \ $£ è:
positiva in £$\left(0,\frac{\pi}{2} \right) \cup \left( \pi, \frac{3}{2}\pi \right)$£;
negativa in £$\left(\frac{\pi}{2}, \pi \right) \cup \left( \frac{3}{2}\pi,2\pi \right)$£;
nulla in £$x=0, \pi$£;
sempre monotona crescente, cioè è crescente in tutto l'intervallo £$\left[0,2\pi \right] \setminus \left\{\frac{\pi}{2}, \frac{3}{2}\pi \right\}$£.
La funzione cotangente £$ y=cotg \ x $£ è:
positiva in £$\left(0,\frac{\pi}{2} \right) \cup \left( \pi, \frac{3}{2}\pi \right)$£;
negativa in £$\left(\frac{\pi}{2}, \pi \right) \cup \left( \frac{3}{2}\pi,2\pi \right)$£;
nulla in £$x=\frac{\pi}{2}, \frac{3}{2}\pi $£;
sempre monotona decrescente, cioè decrescente in tutto l'intervallo £$\left[0,2\pi \right] \setminus \left\{0, \pi \right\}$£.