Seno e coseno: punto di vista geometrico

Rappresentare gli angoli sulla circonferenza goniometrica: Scopri seno e coseno degli angoli principali e la prima relazione fondamentale della goniometria.

2019-04-03 09:15:41

Definizione e angoli sulla circonferenza goniometrica. Seno e coseno come coordinate di un punto sulla circonferenza goniometrica, tabella dei valori di seno e coseno per gli angoli principali. In questa lezione troverai tutto quello che ti serve per imparare ad usare la circonferenza goniometrica, seno e coseno!

In questa lezione imparerai:

  • Circonferenza goniometrica: cosa è la circonferenza goniometrica, come si individua un angolo sulla circonferenza goniometrica
  • Seno, coseno e prima relazione fondamentale: seno e coseno come coordinate di un punto sulla circonferenza goniometrica, limitazioni di seno e coseno, definizione e spiegazione della prima relazione fondamentale della goniometria
  • Seno e coseno degli angoli principali: tabella con i valori principali di seno e coseno per angoli compresi fra £$0$£ e £$2 \pi$£
  • Periodicità di seno e coseno: quale è la periodicità di seno e coseno, cioè quando i valori di seno e coseno si ripetono sempre uguali

Tabella di seno e coseno

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Prerequisiti per imparare seno e coseno

La circonferenza goniometrica

La circonferenza goniometrica è una circonferenza centrata nell'origine e di raggio 1. La sua equazione è £$x^2+y^2=1$£

Rappresentiamo sulla circonferenza goniometrica tutti gli angoli orientati ed i corrispondenti archi di circonferenza. Il primo lato di ogni angolo giace sulla parte positiva dell'asse £$x$£, quindi "l'origine degli archi" è il punto di coordinate £$A(1;0)$£. Tutti gli altri archi saranno:

  • positivi se il secondo lato dell'angolo si muove in senso antiorario;
  • negativi se il secondo lato dell'angolo si muove in senso orario.

Seno, coseno e prima relazione fondamentale

Ogni angolo sulla circonferenza goniometrica è individuato da un lato orizzontale, sull'asse £$x$£, che incontra la circonferenza in £$A(1;0)$£ e dal secondo lato che incontra la circonferenza in un unico punto £$P(x_P;y_P)$£. Ad ogni angolo £$\alpha$£, quindi, possiamo associare univocamente un punto £$P$£ in cui:

£$\begin{cases}x_P=cos \ \alpha \\ y_P=sen \ \alpha \end{cases}$£.

Da questa associazione possiamo dire che:

  • £$\begin{cases}-1 \le x_P \le 1 \Rightarrow -1 \le cos \ \alpha \le 1 \\ -1 \le y_P \le 1 \Rightarrow -1 \le sen \ \alpha \le 1 \end{cases}$£
    perché la circonferenza goniometrica ha raggio 1;
  • £$cos^2 \ \alpha + sen^2 \ \alpha=1$£ perché £$P(x_P=cos \ \alpha; y_P=sen \ \alpha)$£ appartiene alla circonferenza di equazione £$x^2+y^2=1$£ questa è la prima relazione fondamentale della goniometria!

Seno e coseno degli angoli principali

Non sempre è facile calcolare il seno e il coseno degli angoli. Fortunatamente però per alcuni angoli, conosciamo i loro valori. Questi devi assolutamente impararli perché te li ritroverai di fronte un sacco di volte.

Nella lezione, vedrai la dimostrazione dei valori di seno e coseno degli angoli fondamentali. In più c'è anche una tabella riassuntiva: cosa vuoi di più?

Periodicità di seno e coseno

Il seno ed il coseno sono periodici di £$2\pi$£. Questo significa che, dopo aver fatto un giro completo della circonferenza, ossia aggiungendo o togliendo multipli di £$2\pi$£, i valori di seno e coseno si ripetono uguali:

  • £$sen(\alpha+2k\pi)=sen \ \alpha$£ con £$k \in \mathbb{Z}$£;
  • £$cos(\alpha+2k\pi)=cos \ \alpha$£ con £$k \in \mathbb{Z}$£.

All'interrogazione...

Verifica se ti ricordi i valori di seno e coseno degli angoli principali. Sì ma quali sono? Se hai dubbi, riguarda la lezione oppure allenati con gli esercizi su seno e coseno!

Sfida su seno e coseno

Sei su una giostra che all'improvviso si blocca! Cosa farai? Ma soprattutto, a che altezza sei da terra? Grazie alla goniometria, potrai dare la risposta!

Eh ma rimani comunque bloccato. Speriamo arrivi qualcuno a salvarti!

Esercizi svolti Seno e coseno: punto di vista geometrico

Qui trovi esercizi con spiegazione su Seno e Coseno. Gli esercizi vanno in ordine di difficoltà crescente, completi di procedimento, spiegazione e soluzione. Ogni esercizio è in forma di domanda con 3 o 4 opzioni di risposta. Gli esercizi su Seno e Coseno sono interattivi e danno feedback immediato. Ogni esercizio spiegato ti aiuta a studiare e ripassare velocemente per l'interrogazione ed il compito su Funzioni goniometriche. Allenati con gli esercizi svolti di matematica.

Esercizi Seno e coseno: punto di vista geometrico - 1

Esercizi Seno e coseno: punto di vista geometrico - 2

Esercizi Seno e coseno: punto di vista geometrico - 3

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