Prerequisiti per imparare Integrali definiti e integrali indefiniti
I prerequisti per imparare integrali definiti e integrali indefiniti sono:
Integrali definiti e integrali indefiniti
Impara che cos'è e a cosa serve l'integrale definito, come si calcola un integrale indefinito e le sue principali proprietà!
Integrali definiti e indefiniti: qual è la differenza. Integrali e aree non regolari: quale integrale usare? Cos'è una funzione primitiva, come si applica al calcolo degli integrali indefiniti? Riassumiamo in una tabella tutte le formule per il calcolo dell'integrale di funzioni elementari come le funzioni potenza, esponenziali, logaritmiche, seno, coseno, tangente e cotangente. Vediamo anche quali sono le funzioni che hanno come primitiva l'arcoseno e l'arcotangente.
In questa lezione imparerai:
- Definizione di integrale definito: definizione ed esempi;
- Definizione di integrale indefinito: definizione ed esempi;
- Integrali indefiniti: integrazione delle funzioni elementari.
Riassumiamo in una tabella le formule per integrare le funzioni elementari, cioè le formule dell'integrale delle funzioni potenza, delle funzioni esponenziali, e di quelle logaritmiche, del seno, del coseno, della tangente e della cotangente. Vediamo poi come si applicano con degli esempi.
Contenuti di questa lezione su: Integrali definiti e integrali indefiniti
Cosa sono gli integrali
Introduzione agli integrali
Un po' di storia degli integrali
Il calcolo degli integrali è considerato da molti studenti un argomento difficile. Ma, come tutti, lo diventa se non si capisce il motivo per cui vanno studiati.
Abbiamo pensato quindi di presentare una breve introduzione agli integrali e anche un po' di storia (che male non fa).
Integrale definito
L'integrale definito di una funzione è scritto come $$\int_a^b f(x) dx $$ ed è uguale ad un numero.
Usi l'integrale definito quando:
- devi calcolare un'area non regolare (quando i bordi sono curve);
- devi risolvere equazioni differenziali.
Integrali indefiniti
L'integrale indefinito di una funzione è un insieme di funzioni. È l'insieme di tutte le funzioni primitive. Quindi se £$\int f(x) dx = G(x) + c $£ con £$c$£ costante, £$G(x) + c$£ è l'insieme delle funzioni primitive.
Una funzione primitiva è quella che ha come derivata la funzione che vogliamo integrare. Quindi la funzione £$G(x)$£ è la primitiva di £$f(x)$£ se £$G'(x)=f(x)$£.
Usi l'integrale indefinito per calcolare gli integrali definiti.
Integrali indefiniti: integrazione delle funzioni elementari
Come calcolare gli integrali indefiniti? Per molte funzioni è facile!
Infatti ti basta sapere che "l'integrale è l'inverso della derivata". Cioè se abbiamo la funzione £$f(x)=x^2$£, il suo integrale indefinito è quella funzione che ha £$f$£ come derivata. Ma se per derivare questa funzione (potenza) abbassavamo di uno il grado, per tornare indietro dobbiamo aggiungere uno. Quindi avremo £$F(x)=x^3$£. Ma siamo sicuri di aver fatto giusto? Proviamo: $$F'(x)=3x^2 \ne f(x)$$
Manca un coefficiente (£$3$£). Allora la primitiva corretta è quella che ha £$3$£ al denominatore perché derivando possiamo semplificare. Avremo £$F(x)=\frac{x^3}{3}$£. Ma ce n'è solo una? No! Ce ne sono infinite: dato che la derivata di una costante è nulla, anche tutte le funzioni £$G(x)=\frac{x^3}{3}+c$£ con £$c$£ numero reale hanno come derivata £$f(x)=x^2$£.
Esercizi sugli integrali
Testo degli esercizi
Soluzione degli esercizi
Ora che sei entrato nel magico mondo degli integrali, prova a risolvere questi esercizi su integrali definiti e indefiniti.
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Esercizi svolti Integrali definiti e integrali indefiniti
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