Integrali definiti e integrali indefiniti: definizioni ed esempi

L'integrale definito di una funzione è scritto come $$\int_a^b f(x) dx $$ ed è uguale ad un numero.

Usi l'integrale definito quando:

• devi calcolare un'area non regolare (quando i bordi sono curve);
• devi risolvere equazioni differenziali.

L'integrale indefinito di una funzione è un insieme di funzioni. È l'insieme di tutte le funzioni primitive. Quindi se £$\int f(x) dx = G(x) + c $£ con £$c$£ costante, £$G(x) + c$£ è l'insieme delle funzioni primitive.

Una funzione primitiva è quella che ha come derivata la funzione che vogliamo integrare. Quindi la funzione £$G(x)$£ è la primitiva di £$f(x)$£ se £$G'(x)=f(x)$£.

Usi l'integrale indefinito per calcolare gli integrali definiti.

Come calcolare gli integrali indefiniti? Per molte funzioni è facile!

Infatti ti basta sapere che "l'integrale è l'inverso della derivata". Cioè se abbiamo la funzione £$f(x)=x^2$£, il suo integrale indefinito è quella funzione che ha £$f$£ come derivata. Ma se per derivare questa funzione (potenza) abbassavamo di uno il grado, per tornare indietro dobbiamo aggiungere uno. Quindi avremo £$F(x)=x^3$£. Ma siamo sicuri di aver fatto giusto? Proviamo: $$F'(x)=3x^2 \ne f(x)$$

Manca un coefficiente (£$3$£). Allora la primitiva corretta è quella che ha £$3$£ al denominatore perché derivando possiamo semplificare. Avremo £$F(x)=\frac{x^3}{3}$£. Ma ce n'è solo una? No! Ce ne sono infinite: dato che la derivata di una costante è nulla, anche tutte le funzioni £$G(x)=\frac{x^3}{3}+c$£ con £$c$£ numero reale hanno come derivata £$f(x)=x^2$£.