Metodo di integrazione per le funzioni razionali

Impara ad integrare le funzioni razionali! A seconda del grado del numeratore e del grado del denominatore riuscirai a prevedere il risultato!

Metodo di integrazione per le funzioni razionali. Hai una funzione integranda razionale fratta? Risolvi l'integrale analizzando il grado del numeratore e del denominatore! Se il denominatore ha grado 2analizza prima di tutto il delta. In questo modo potrai prevedere di che tipo sarà la soluzione!

In questa lezione imparerai:

  • Integrazione delle funzioni razionali: quali casi possiamo incontrare nell'integrazione di una funzione razionale
  • Denominatore di II grado: caso £$\Delta > 0 $£. Come risolvere l'integrale e qual è la soluzione
  • Denominatore di II grado: caso £$\Delta = 0 $£. Come risolvere l'integrale e qual è la soluzione
  • Denominatore di II grado: caso £$\Delta < 0 $£. Come risolvere l'integrale e qual è la soluzione
  • Denominatore di grado > 2: come risolvere l'integrale e qual è la soluzione

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Prerequisiti per imparare il metodo di integrazione per le funzioni razionali

I prerequisiti per imparare il metodo di integrazione per le funzioni razionali sono:

Come integrare le funzioni razionali

Analizziamo gli integrali in cui l'integranda è una funzione razionale, cioè è scritta come rapporto di due polinomi £$P_n(x)$£ di grado £$n$£ e £$Q_m(x)$£ di grado £$m$£. Distinguiamo 4 casi:

  1. £$n=0$£ e £$ m=1$£ sappiamo già risolvere l'integrale: £$\int \frac{q}{ax+b } dx= \frac{q}{a} \ln |ax+b|+c$£
  2. £$n \ge m$£ devi fare la divisione fra i polinomi e, sfruttando il teorema del quoziente e del resto, puoi scrivere l'integranda come somma tra un polinomio che sappiamo integrare subito e una funzione razionale dove il denominatore ha grado £$\le$£ del grado del denominatore;
  3. £$m=2$£ e £$n \le 1$£ l'integrale è: £$\int \frac{px+q}{ax^2+bx+c} dx$£. La soluzione e la risoluzione di questo integrale dipende dal Delta £$\Delta$£ del polinomio al denominatore;
  4. £$m > 2 $£ e £$n < m$£ la soluzione dipende dal grado del denominatore.

Se il denominatore ha grado 2

Denominatore di II grado: caso £$\Delta > 0 $£

Denominatore di II grado: caso £$\Delta = 0 $£

Denominatore di II grado: caso £$\Delta < 0 $£

Nel caso dell'integrale £$\int \frac{px+q}{ax^2+bx+c} dx$£ dove il denominatore ha £$\Delta > 0$£. Cosa devi fare per semplificare l'integrale?

  1. Fattorizza il denominatore in un polinomio;
  2. Cerca £$A$£ e £$B$£ tali che £$\frac{px+q}{ax^2+bx+c}= \frac{1}{a} \left( \frac{A}{x-x_1} + \frac{B}{x-x_2} \right)$£;
  3. La soluzione è la somma di due logaritmi.

Nel caso dell'integrale £$\int \frac{px+q}{ax^2+bx+c} dx$£ dove il denominatore ha £$\Delta = 0$£. Cosa devi fare per semplificare l'integrale?

  1. Fattorizza il denominatore scrivendolo come un quadrato perfetto;
  2. Sostituisci £$t=x-x_0$£;
  3. Separa e risolvi i due integrali immediati.

Nel caso dell'integrale £$\int \frac{px+q}{ax^2+bx+c} dx$£ dove il denominatore ha £$\Delta < 0$£. In questo caso per semplificare l'integrale devi:

  1. spezzare £$q$£ come somma di due numeri tali che al numeratore compaia la derivata del denominatore;
  2. spezzare l'integrale in due, in modo che nel primo l'integrando sia del tipo "derivata fratto funzione";
  3. la soluzione è la somma di un logaritmo e di un arcotangente.

Denominatore di grado > 2

Quando £$m > 2 $£ e £$n < m$£ scomponi il polinomio al denominatore con la regola di Ruffini. Trova un numero di costanti uguale al numero di fattori in cui hai scomposto il polinomio usando lo stesso metodo usato per trovare le costanti A e B del caso in cui il denominatore ha £$\Delta > 0$£. Ora separa la frazione in più frazioni e risolvi.

Esercizi sull'integrazione di funzioni razionali

Ecco alcuni esercizi per arrivare preparato all'interrogazione o alla verifica sull'integrazione delle funzioni razionali. Ricordi cosa succede se il denominatore è di secondo grado? E se fosse di grado maggiore di £$2$£?

Sfida!

Se conosci l'accelerazione di un razzo che viene mandato in orbita, puoi conoscere la sua velocità? Certo! Infatti l'accelerazione è la derivata della velocità rispetto al tempo e quindi...

Continua tu e risolvi la sfida!

Esercizi svolti Metodo di integrazione per le funzioni razionali

Ecco gli esercizi su Metodo di integrazione per le funzioni razionali in ordine di difficoltà crescente, completi di procedimento, spiegazione e soluzione. Ogni esercizio è in forma di domanda con 3 o 4 opzioni di risposta. Gli esercizi sono interattivi e danno feedback immediato. Ogni esercizio spiegato ti aiuta a studiare e ripassare velocemente per l'interrogazione ed il compito su Integrali. Allenati con gli esercizi svolti di matematica, accumula punti e entra in classifica! Completa tutti i livelli di difficoltà dell'esercitazione per migliorare i tuoi voti in Relazioni e funzioni

Esercizi Metodo di integrazione per le funzioni razionali - 1

Esercizi Metodo di integrazione per le funzioni razionali - 2

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