Metodo di integrazione per parti

Cosa succede se la funzione da integrare è il prodotto di più funzioni? Semplice, basta usare il metodo di integrazione per parti. Ma che cos'è? Qui scoprirai il metodo di integrazione per parti per calcolare gli integrali di un prodotto di funzioni!

Integrali per parti: qual è la formula dell'integrazione per parti e qual è la sua dimostrazione?Come risolvere un integrale per parti? Impara a risolvere un integrale per parti, cosa è il fattore differenziale e il fattore finito. Quali funzioni ti conviene scegliere come fattore differenziale e quali come fattore finito. Come risolvere gli integrali per parti multipli, ossia quelli in cui bisogna risolvere più integrali per parti di seguito e poi tornare indietro!

In questa lezione imparerai:

  • Formula di integrazione per parti: formula, dimostrazione ed esempi
  • Tecniche per integrare per parti: quali funzioni conviene scegliere come fattore differenziale e quali come fattore finito
  • Integrazioni per parti multiple: come fare per integrare per parti più volte e poi tornare indietro

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Formula di integrazione per parti

Ricordate la formula per derivare il prodotto di due funzioni £$f$£ e £$g$£? La derivata del prodotto £$f \cdot g$£ è uguale alla derivata della prima per la seconda non derivata, più la prima non derivata per la derivata della seconda: £$f'g+fg'$£. Da questa formula ricaviamo (e quindi dimostriamo) la formula dell'integrazione per parti.

La formula di integrazione per parti è:

£$\int f'(x) \ g(x) dx= f(x) \ g(x) - \int f(x) \ g'(x) dx$£.

Qual è l'obiettivo? Quello di scomporre una funzione complicata di cui non sappiamo fare l'integrale, nel prodotto di due funzioni più semplici, meno un integrale che sappiamo svolgere.

Come svolgere i calcoli? Individua i due fattori e fai in modo che sotto il segno di integrale compaia:

  • un fattore differenziale £$f'(x)$£, cioè una funzione derivata;
  • un fattore finito £$g(x)$£, cioè una funzione.

Scegli il fattore differenziale e il fattore finito pensando che:

  • di £$f'(x)$£ devi fare l'integrale per trovare £$f(x)$£;
  • di £$g(x)$£ devi fare la derivata per trovare £$g'(x)$£.

e che quindi questi calcoli devono risultare facili, in particolare per risolvere £$\int f(x)g'(x)dx$£, che è la seconda parte della formula.

Trovi gli esercizi su questi argomenti nella lezione successiva.

Tecniche di integrazione per parti

Ti conviene scegliere:

  • £$e^{x}$£, £$sen \ x$£ e £$cos \ x$£ come fattore differenziale, perché, integrati o derivati, i calcoli non cambiano in quanto il seno ed il coseno si "scambiano", mentre l'esponenziale rimane uguale a se stesso;
  • £$\ln x$£ e £$arctg \ x$£ come fattore finito, perché derivandoli otteniamo una funzione polinomiale e quindi più semplice da integrare.

Trovi gli esercizi su questi argomenti nella lezione successiva.

Integrazioni per parti multiple

Quando hai l'integrale del prodotto di due funzioni del tipo £$e^x$£, £$sen \ x$£ o £$cos \ x$£, allora dovrai fare più integrali per parti uno dietro l'altro.

Come risolverli?

  1. Scegli il fattore differenziale e il fattore finito a tuo piacere, non ce ne è uno che convenga più dell'altro;
  2. sii coerente con la tua scelta, nelle integrazioni per parti successive mantieni sempre le stesse funzioni come fattori differenziali e fattori finiti;
  3. hai concluso quando ritrovi l'integrale di partenza;
  4. ora ragiona come se stessi risolvendo un'equazione dove l'incognita è l'integrale.

Trovi gli esercizi su questi argomenti nella lezione successiva.

Prerequisiti per imparare il metodo di integrazione per parti

I prerequisiti per imparare il metodo di integrazione per parti sono:

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