Teoremi e calcolo dell'integrale definito

Impara il teorema della media e il teorema fondamentale del calcolo integrale, scoprirai cos'è una funzione integrale e come calcolare gli integrali definiti!

2019-03-19 00:13:16

In analisi matematica lo studio dell'integrale è legato allo studio dell'area. In particolare puoi calcolare l'area sottesa dal grafico di una funzione o compresa fra quello di più funzioni, risolvendo un integrale definito.Come si calcola un integrale definito? Per imparare a calcolare gli integrali definiti è necessario conoscere il teorema della media, il concetto di funzione integrale e, soprattutto, il teorema fondamentale del calcolo integrale. Gli enunciati, le dimostrazioni e gli esercizi svolti sui teoremi degli integrali definiti ti aiuteranno a capire la formula per il calcolo dell'integrale definito, da applicare poi per il calcolo di aree e semplificare con le proprietà dell'integrale definito!

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Prerequisiti per imparare teoremi e calcolo dell'integrale definito

Il prerequisito per imparare teoremi e calcolo dell'integrale definito è:

Teorema della media

Il teorema della media rappresenta una proprietà importante degli integrali definiti: se £$f(x)$£ è una funzione continua in un intervallo £$[a,b]$£, esiste almeno un punto £$c$£ interno all'intervallo tale che £$f(c)=\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$£.

Per dimostrare il teorema della media devi saper calcolare l'integrale di una costante e dovrai usare il teorema dei valori medi.

Dal punto di vista geometrico il teorema della media ci dice che il valor medio £$f(c)$£ è l'altezza del rettangolo di base £$b-a$£.

Concetto di funzione integrale

Se £$f$£ è una funzione continua in £$[a,b]$£ e £$x$£ è un punto interno all'intervallo, definiamofunzione integrale di £$f$£ in £$[a,b]$£ la funzione £$F(x)=\int_a^x f(t)dt$£.

La funzione integrale associa ad ogni £$x \in [a,b]$£ il numero reale £$ \int_a^x f(t)dt $£. Se £$f(t)$£ è positiva in £$[a,b]$£ la funzione integrale £$F(x)$£ rappresenta, al variare di £$x$£, l'area della parte di piano compresa tra la curva grafico di £$f$£ , l'asse delle ascisse, e le rette £$t=a$£ e £$t=x$£.

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Il teorema fondamentale del calcolo integrale dimostra che l'integrale è l'operazione inversa della derivata. L'enunciato del teorema, detto anche teorema di Torricelli Barrow, è: data la funzione £$f(x)$£, continua in £$[a,b]$£, la funzione integrale £$F(x)=\int_a^x f(t)dt $£ è derivabile £$\forall x \in [a,b]$£ e la sua derivata è proprio la funzione £$f$£: £$F'(x)=f(x)$£.

La dimostrazione del teorema fondamentale del calcolo integrale usa la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale ed il teorema della media.

Calcolo degli integrali definiti

Come si calcola un integrale definito?

Per calcolare un integrale definito devi:

  1. calcolare l'integrale indefinito associato, in questo modo troviamo l'insieme delle primitive £$G(x)$£;
  2. applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale e troviamo quanto vale £$G$£ negli estremi dell'intervallo di integrazione. Troviamo: £$\int_a^b f(x) dx=G(b)-G(a)$£.

Esercizi sui teoremi degli integrali

Per arrivare preparato all'interrogazione sui teoremi degli integrali, prova a risolvere questi esercizi! Se hai dubbi, puoi ripassare la lezione!
Puoi guardare la soluzione per controllare di aver fatto giusto!

Sfida!

Come calcolare l'altezza media delle onde del mare? Beh con gli integrali, è ovvio! Ma devi usare un teorema in particolare. Sai quale?

Esercizi svolti Teoremi e calcolo dell'integrale definito

Ecco gli esercizi su Teoremi e calcolo dell'integrale definito in ordine di difficoltà crescente, completi di procedimento, spiegazione e soluzione. Ogni esercizio è in forma di domanda con 3 o 4 opzioni di risposta. Gli esercizi sono interattivi e danno feedback immediato. Ogni esercizio spiegato ti aiuta a studiare e ripassare velocemente per l'interrogazione ed il compito su Integrali. Allenati con gli esercizi svolti di matematica, accumula punti e entra in classifica! Completa tutti i livelli di difficoltà dell'esercitazione per migliorare i tuoi voti in Relazioni e funzioni

Esercizi Teoremi e calcolo dell'integrale definito - 1

Esercizi Teoremi e calcolo dell'integrale definito - 2

Esercizi Teoremi e calcolo dell'integrale definito - 3

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