Teorema della media e concetto di funzione integrale

Impara il teorema della media, scopri cos'è una funzione integrale. Nella lezione succesiva puoi continuare lo studio degli integrali con il teorema fondamentale e il calcolo di integrali definiti.

In analisi matematica lo studio dell'integrale è legato allo studio dell'area. In particolare puoi calcolare l'area sottesa dal grafico di una funzione o compresa fra quello di più funzioni, risolvendo un integrale definito.

Come si calcola un integrale definito? Per imparare a calcolare gli integrali definiti (che imparerai nella prossima lezione) è necessario conoscere il teorema della media, il concetto di funzione integrale e, soprattutto, il teorema fondamentale del calcolo integrale che vedremo sempre nella lezione successiva. Gli enunciati, le dimostrazioni e gli esercizi svolti sui teoremi degli integrali definiti ti aiuteranno a capire la formula per il calcolo dell'integrale definito, da applicare poi per il calcolo di aree e semplificare con le proprietà dell'integrale definito.

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Prerequisiti per imparare il teorema della media e la definizione di funzione integrale

Il prerequisito per imparare il teorema della media e la definizione di funzione integrale è:

Teorema della media

Il teorema della media rappresenta una proprietà importante degli integrali definiti: se £$f(x)$£ è una funzione continua in un intervallo £$[a,b]$£, esiste almeno un punto £$c$£ interno all'intervallo tale che £$f(c)=\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$£.

Per dimostrare il teorema della media devi saper calcolare l'integrale di una costante e dovrai usare il teorema dei valori medi.

Dal punto di vista geometrico il teorema della media ci dice che il valor medio £$f(c)$£ è l'altezza del rettangolo di base £$b-a$£.

Trovi gli esercizi su questo argomento nella lezione successiva.

Concetto di funzione integrale

Se £$f$£ è una funzione continua in £$[a,b]$£ e £$x$£ è un punto interno all'intervallo, definiamofunzione integrale di £$f$£ in £$[a,b]$£ la funzione £$F(x)=\int_a^x f(t)dt$£.

La funzione integrale associa ad ogni £$x \in [a,b]$£ il numero reale £$ \int_a^x f(t)dt $£. Se £$f(t)$£ è positiva in £$[a,b]$£ la funzione integrale £$F(x)$£ rappresenta, al variare di £$x$£, l'area della parte di piano compresa tra la curva grafico di £$f$£ , l'asse delle ascisse, e le rette £$t=a$£ e £$t=x$£.

Trovi gli esercizi su questo argomento nella lezione successiva.

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