Congiunzione e disgiunzione

Impara ad utilizzare gli operatori logici binari come la congiunzione, e la disgiunzione. Impara a distinguere la disgiunzione inclusiva dalla disgiunzione esclusiva!

Abbiamo visto che la negazione è un operatore logico unario in quanto agisce su una singola proposizione.

Quando un operatore logico lega almeno due proposizioni si dice operatore logicobinario. Gli operatori binari sono:

Congiunzione: è l'unione di due frasi tramite la particella 'e'.

Disgiunzione inclusiva: è l'unione di due frasi tramite la particella 'o'.

Disgiunzione esclusiva: è l'unione di due frasi tramite le particelle 'o…o'.

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Prerequisiti per imparare congiunzione e disgiunzione

I prerequisiti per imparare congiunzione e disgiunzione sono:

La congiunzione

Consideriamo le due proposizioni indipendenti:

  • £$p$£: “ Oggi è domenica’’;
  • £$q$£: “ Oggi c'è il sole’’.

Le due proposizioni possono essere composte in una proposizione composta mediante la congiunzione e:

£$p$£ e £$q$£: “ Oggi è domenica e oggi c'è il sole’’.

È una proposizione composta ottenuta mediante l’operatore binario congiunzione « e», rappresentato dal simbolo £$\wedge$£.

Altri esempi sono:

  • "La lampadina rossa è accesa e la lampadina blu è accesa".
  • "Il mio gelato è alla fragola e al pistacchio".
  • "Ha i capelli corti e porta gli occhiali".
  • "Alice guarda i gatti ed i gatti guardano il sole".

Per stabilire se le frasi composte sono vere (£$V$£) oppure false (£$F$£) usiamo le tavole di verità. In particolare, £$\pmb{p}$£ £$\wedge$£ £$\pmb{q}$£ è vera solo quando £$\pmb{p}$£ e £$\pmb{q}$£ sono entrambe vere.

La tavola di verità per la congiunzione è sempre valida per qualsiasi proposizione logica.

Allora se consideriamo le due proposizioni:

  • £$\pmb{A}$£: “il re di cuori è una carta di cuori”;
  • £$\pmb{B}$£: “il re di cuori è un asso”.

La proposizione £$\pmb{A}$££$\wedge$££$\pmb{B}$£ : “il re di cuori è una carta di cuori ed è un asso” è una proposizione falsa.

Disgiunzione inclusiva

Un altro operatore binario è la disgiunzione inclusiva:

Consideriamo le due proposizioni indipendenti:

  • £$p$£: "La lampadina rossa è accesa";
  • £$q$£: "La lampadina blu è accesa".

La proposizione composta mediante la disgiunzione inclusiva si indica con £$\pmb{p \vee q}$£ e si legge: “La lampadina rossa è accesa o la lampadina blu è accesa’’.

Ed indica che entrambe le lampadine possono essere accese o una delle due è accesa e l’altra spenta.

Dunque, £$p \vee q$£ è falsa quando entrambe £$p$£ e £$q$£ sono false. Ed è vera se almeno una delle due è vera.

Altri esempi di disgiunzione inclusiva, sono:

  • Il mio gelato è alla fragola o al pistacchio
  • Ho una carta rossa o ho una carta di cuori
  • Porta la maglietta blu oppure i pantaloni azzurri.

Disgiunzione esclusiva

La disgiunzione esclusiva è un operatore logico binario che esprime un’alternativa.

Consideriamo le due proposizioni indipendenti:

  • £$p$£: "Questa carta è un asso";
  • £$q$£: "Questa carta è un due".

In questo caso £$p$£ e £$q$£ si escludono a vicenda, pertanto la proposizione composta mediante disgiunzione esclusiva “Questa carta o è un asso o è un due’’ è vera solo quando è vera una sola delle due, falsa in tutti gli altri casi.

Tale tipo di operatore “o…o’’ si chiama disgiunzione esclusiva perché una proposizione esclude l’altra.

Si indica con £$P \dot{V} Q$£

Ad esempio, consideriamo la proposizione logica composta:

  • £$ p \dot{V} q $£: "Il mio gelato o è alla fragola o è al pistacchio."

Essa è costituita dalle due proposizioni semplici:

  • £$p$£:“il mio gelato è alla fragola”;
  • £$q$£: “il mio gelato è al pistacchio”.

£$p$£ è vera e £$q$£ è vera, allora £$p \dot{V} q$£ è falsa perché £$p$£ e £$q$£ rappresentano due alternative esclusive.

Se £$p$£ è vera e £$q$£ è falsa, allora £$p \dot{V} q$£ è vera e lo stesso accade se £$p$£ è falsa e £$q$£ è vera. Se il mio gelato non è né alla fragola, né al pistacchio, £$p \dot{V} q$£ è falsa.

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