Implicazione e coimplicazione materiale

L'implicazione materiale (se ... allora ...) e la doppia implicazione o coimplicazione (se e solo se...) sono altri due operatori logici che sono utilizzati molto frequentemente in logica.

Altri connettivi logici sono l'implicazione materiale e la doppia implicazione o coimplicazione.

Implicazione materiale: è la frase “se £$A$£… allora £$B$£" ed è indicata così: £$A \Rightarrow B $£.

£$A$£ è la frase antecedente, £$B$£ è la frase conseguente.
Tabella di verità: £$A \Rightarrow B $£ è sempre vera tranne quando £$A$£ è vera mentre £$B$£ è falsa.

Doppia Implicazione: è la frase “£$A$£ se e solo se £$B$£" ed è indicata così £$A \Leftrightarrow B$£.

Tabella di verità: £$A \Leftrightarrow B$£ è vera se £$A$£ e £$B$£ sono entrambe vere o entrambe false.

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Prerequisiti per imparare implicazione e coimplicazione materiale

I prerequisiti per imparare implicazione e coimplicazione materiale sono:

L’implicazione materiale

Un altro operatore logico è l’implicazione materiale che si esprime mediante la frase “se £$\pmb{A}$£… allora £$\pmb{B}$£” e si indica così: £$A \Rightarrow B$£.

£$A$£ si chiama proposizione antecedente e £$B$£ proposizione conseguente.

Anche per l’implicazione si definisce una tavola di verità:

£$A \Rightarrow B$£ è sempre vera tranne quando £$A$£ è vera mentre £$B$£ è falsa.

Ad esempio:

  • £$A$£: “Premo l’interruttore” £$A$£ è Vera;
  • £$B$£: “La lampadina si accende” £$B$£ è vera;
  • £$A \Rightarrow B$£: “Se premo l’interruttore, allora la lampadina si accende.” £$A \Rightarrow B$£ vera.

Se £$A$£ è vera e £$B$£ è vera, allora £$A \Rightarrow B $£ è vera; se £$A$£ è vera e £$B$£ è falsa, allora £$A \Rightarrow B$£ è falsa perché ho premuto l’interruttore ma la lampadina non si è accesa; se £$A$£ è falsa invece, £$B$£ può assumere qualunque valore di verità e l’implicazione è sempre vera perché ha una premessa falsa! Per l’implicazione materiale, Il falso implica il vero.

Attenzione! Il valore di verità della proposizione conseguente non dipende dalla proposizione antecedente, ma solo l’implicazione dipende dal valore di entrambe. Quindi, dobbiamo distinguere il significato formale da quello semantico: l’implicazione materiale non tiene conto del significato delle proposizioni ma solo che ad un valore di £$A$£ e ad un valore di £$B$£ corrisponde un valore della proposizione composta. Le implicazioni logiche, quindi, non necessariamente esprimono concetti significativi semanticamente.

Ad esempio:

£$P$£: ‘‘Se io mi chiamo Marco, allora tu vai a giocare a calcio.’’

È da ritenersi vera se entrambe le espressioni sono vere nonostante esse non abbiano legame nel significato. La causalità sarà espressa invece dal ragionamento logico.

Proposizione reciproca

Oltre alla proposizione £$ A \Rightarrow B$£, a partire da £$A$£ e £$B$£, posso definire anche la proposizione contraria: £$ B \Rightarrow A$£. Tale proposizione non è equivalente alla precedente in quanto è falsa se e solo se £$B$£ è vera e £$A$£ è falsa. Tale proposizione si chiama proposizione reciproca.

Consideriamo le proposizioni:

£$A$£: “Domani è Domenica” £$A$£ è Vera

£$B$£: “Domani si va a scuola” £$B$£ è Falsa

£$A \Rightarrow B$£: “Se domani è Domenica, allora domani si va a scuola” £$A \Rightarrow B$£ Falsa.

Tuttavia £$ B\Rightarrow A$£: “Se domani si va a scuola, allora domani è Domenica” è vera perché la proposizione antecedente stavolta è £$B$£ ed è falsa e pertanto la composta è sempre vera.

£$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline A & B & A \Rightarrow B & B \Rightarrow A \\ \hline V & V & V & V \\ \hline V & F & F & V \\ \hline F & V & V & F \\ \hline F & F & V & V \\ \hline\end{array}$£

La coimplicazione materiale

È possibile considerare l’implicazione e la sua reciproca mediante un unico operatore: la doppia implicazione, che si esprime con la frase “£$A$£ se e solo se £$B$£” ed è indicata con

£$ A \Leftrightarrow B$£.

£$ A \Leftrightarrow B$£ è vera se £$A$£ e £$B$£ sono entrambe vere o entrambe false.

Ad esempio:

  • £$A$£: “Apro l’ombrello” £$A$£ è Vera
  • £$B$£:“Piove” £$B$£ è Vera

Allora:

£$A \Rightarrow B$£: "Se apro l’ombrello, allora piove" Vera

£$B \Rightarrow A$£: "Se piove, allora apro l’ombrello" Vera

£$A \Leftrightarrow B$£: "Apro l’ombrello se e solo se piove" Vera

Un altro esempio:

  • £$A$£: "l tempo sarà bello" Falso
  • £$B$£: ‘"Giocheremo a tennis" Vero
  • £$A \Rightarrow B$£: "Se il tempo sarà bello allora giocheremo a tennis" Vero
  • £$B \Rightarrow A$£: "Se giocheremo a tennis allora il tempo sarà bello" Falso
  • £$A \Leftrightarrow B$£: "l tempo sarà bello se e solo se giocheremo a tennis" Falso.
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