Proposizioni composte ed operatori logici

Impara cos'è una proposizione composta e cosa sono gli operatori logici. Impara ad utilizzare la negazione e le tavole di verità.

La proposizione logica composta è una frase formata da più proposizioni logiche semplici che sono legate tra di loro da operatori logici e che può essere vera o falsa.

L'operatore logico più semplice è la negazione, che è facile da riconoscere dalla presenza della particella 'non', che è un connettivo logico.

Attenzione! La negazione della frase “tutti i computer utilizzano la corrente elettrica" NON è: “nessun computer utilizza la corrente elettrica" ma è: “alcuni computer NON utilizzano la corrente elettrica"

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Prerequisiti per imparare le proposizioni composte e gli operatori logici

I prerequisiti per imparare le proposizioni composte e gli operatori logici sono:

Le proposizioni composte

Così come le parole possono essere composte per formare frasi, anche nel linguaggio della logica le proposizioni semplici possono essere composte per formare proposizioni più complesse per esprimere pensieri più elaborati.

La proposizione logica composta è una frase formata da più proposizioni logiche semplici che, in quanto proposizione, può essere o vera o falsa.

Ad esempio, prendiamo due proposizioni semplici:

£$A$£: “il mio gelato è al cioccolato”

£$B$£: “il mio gelato ha la panna”

Possiamo legarle tra loro nella proposizione composta:

£$C$£: “il mio gelato è al cioccolato ed ha la panna”

Le proposizioni composte sono formate da più predicati (cioè da più proposizioni semplici):

"Il mio gatto è bianco ed ha le macchie" è una proposizione composta formata da due predicati "è" e "ha" e dalle due proposizioni semplici “il mio gatto è bianco” e “il mio gatto ha le macchie”.

Altri esempi di proposizioni composte sono:

  • Le carte sono di seme rosso o sono di seme nero
  • La lampadina rossa o è accesa o è spenta.

La negazione

Cominciamo con l’operatore più semplice, la negazione, che opera a partire da una singola proposizione.

La negazione è un operatore logico unario (cioè agisce su una sola proposizione) che rende falsa una frase vera e rende vera una frase falsa. Si esprime tramite la particella ‘non’.

Data la proposizione £$A$£, la sua negazione viene indicata con £$\overline{A}$£ (si legge "non £$A$£" oppure "£$A$£ barrato").

Data la proposizione semplice

  • £$A$£: “La lampadina è accesa” { £$A$£ è vera }

La sua negata è

  • £$\overline{A}$£: “La lampadina non è accesa’’ { £$\overline{A}$£ è falsa }

Se £$A$£ è vera, allora £$\overline{A}$£ è falsa… e viceversa:

  • £$A$£: “La lampadina non è accesa” { £$A$£ è falsa }

La sua negata è

  • £$\overline{A}$£: “La lampadina è accesa’’ { £$\overline{A}$£ è vera }

Un altro esempio è dato dalla proposizione:

  • £$p$£: “Questo è un asso di picche” { £$p$£ è Falsa}

La sua negata è

  • £$\overline{p}$£: “Questo non è un asso di picche’’ {£$\overline{p}$£ è Vera}

Dunque il valore di verità di £$\overline{p}$£ dipende dal valore di verità di £$p$£, ed è il suo opposto.

La negazione scambia i valori di verità: ciò che è vero diventa falso e ciò che è falso diventa vero.

Posso applicare la negazione tutte le volte che voglio. Ad esempio:

£$A$£: "La lampadina è accesa."

£$\overline{A}$£ : "La lampadina non è accesa."

£$\overline{( \overline{A})}$£: "Non è che la lampadina non è accesa."

£$\overline{( \overline{(\overline{A})})}$£: "Non è che non è che la lampadina non è accesa."

Grazie alla tavola di verità conosco il valore di verità delle proposizioni composte. Dalle tavole di verità si può inoltre dedurre che due negazioni confermano il valore di verità.

Attenzione! La negazione della frase “tutti i gatti sono neri” è:

“Non è vero che tutti i gatti sono neri”, oppure “Non tutti i gatti sono neri.”

NON è: “Nessun gatto è nero”

Operatori logici

Come comporre due proposizioni semplici?

Date due proposizioni semplici

  • £$A$£: “Il mio gatto è bianco.”
  • £$B$£: “Il mio gatto porta la corona.”

Posso comporle e formare molte proposizioni composte, ad esempio

  • Il mio gatto è bianco e porta la corona.
  • Il mio gatto non è bianco e non porta la corona.
  • Se il mio gatto non è bianco allora non porta la corona.
  • Il mio gatto o è bianco o porta la corona.

Le particelle ‘e’, ‘o’, ‘non’, ‘se…allora’ sono chiamati operatori logici e servono per formare proposizioni composte.

Le proposizioni composte possono essere formate utilizzando molti operatori logici e possono avere molti predicati.

Ad esempio, partendo da queste proposizioni semplici:

  • £$A$£: “è l’ora del tè”
  • £$B$£: “prendi un altro po’ di burro”
  • £$C$£: “il tuo gatto è un corvo”
  • £$D$£: ”un corvo somiglia ad uno scrittoio”

Una proposizione composta può essere:

"Se non è l’ora del tè e prendi un altro po’ di burro allora il tuo gatto è un corvo o un corvo somiglia ad uno scrittoio”.

Attenzione! Anche se non ha senso, resta comunque una proposizione composta corretta sintatticamente.

Essendo proposizioni logiche, le proposizioni composte possono essere vere o false: il loro valore di verità dipende dal valore di verità delle proposizioni semplici che le formano e dagli operatori che sono utilizzati per comporle.

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