Proprietà della coimplicazione materiale

Le proprietà della coimplicazione materiale sono importante perché la legano agli altri operatori e ci danno le "regole" per manipolare le proposizioni e scoprire ragionamenti validi, trovare equivalenze, negare proposizioni nel modo corretto!  Ricordati che anche le proprietà dell'implicazione materiale sono importanti per questo scopo.

Le proprietà della coiimplicazione materiale sono molto interessanti perché legano la coiimplicazione (se e solo se...) agli altri operatori (negazione e disgiunzione).

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Prerequisiti per imparare le proprietà dell'implicazione e della coimplicazione materiale

I prerequisiti per imparare le proprietà dell'implicazione e della coimplicazione materiale sono:

Proprietà della coimplicazione

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Anche la coimplicazione gode di alcune proprietà che seguono da quelle dell’implicazione:

  • negazione;
  • riflessività;
  • simmetria:
  • transitività.

Si scrivono così:

  • £$(p \Leftrightarrow q)= (\overline p \Leftrightarrow \overline q) $£;
  • £$(p \Leftrightarrow p)= V $£.
  • £$p \Leftrightarrow q= q \Leftrightarrow p $£;
  • £$ [(p \Leftrightarrow q) \wedge (q \Leftrightarrow r)] \Rightarrow (p \Leftrightarrow r) = V$£.

La negazione della coimplicazione

La coimplicazione è facile da negare! Infatti la negazione della coimplicazione si ottiene facendo la coimplicazione delle due proposizioni negate:

£$ (p \Leftrightarrow q)= (\overline p \Leftrightarrow \overline q)$£:

£$p$£: “Questo è un triangolo isoscele”

£$q$£: “Questo triangolo ha due lati uguali”

£$p \Leftrightarrow q$£:

“Questo è un triangolo isoscele se e solo se ha due lati uguali”

La negazione è:

"Non è un triangolo isoscele se e solo se non ha due lati uguali”

La riflessività della coimplicazione

La riflessività della coimplicazione lega una proposizione con se stessa, quindi è una tautologia:

£$ (p \Leftrightarrow p)= V$£ ovvero, ogni proposizione è condizione necessaria e sufficiente di se stessa.

Ad esempio:

“il mio gatto è bianco se e solo se il mio gatto è bianco”.

La simmetria della coimplicazione

La simmetria lega due proposizioni:

£$ (p \Leftrightarrow q) = (q \Leftrightarrow p) $£

Ad esempio:

£$p$£: “Questo poligono è un quadrilatero”

£$q$£: “Questo poligono ha quattro lati”

£$ p \Leftrightarrow q$£: “questo poligono è un quadrilatero se e solo se ha quattro lati”

£$ q \Leftrightarrow p$£: “questo poligono ha quattro lati se e solo se è un quadrilatero”.

La transitività della coimplicazione

La transitività lega tre proposizioni:

£$ [(p \Leftrightarrow q) \wedge (q \Leftrightarrow r)] \Rightarrow (p \Leftrightarrow r) = V$£

Ad esempio:

£$ p \Leftrightarrow q $£: “metto il salvagente se e solo se faccio il bagno”

e £$ q \Leftrightarrow r$£: “faccio il bagno se e solo se fa caldo”

Questo implica che:

£$ p \Leftrightarrow r$£ “Metto il salvagente se e solo se fa caldo”

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