Prerequisiti per imparare i quantificatori
I prerequisiti per imparare i quantificatori sono:
Caricamento in corso...
I quantificatori
Impara a riconoscere e utilizzare i quantificatori esistenziali e universali, il quantificatore di esistenza ed unicità e la negazione dei quantificatori.
Appunti
Cosa significa in matematica la "e" al contrario: £$\exists$£, che sta per "esiste", la "e" sbarrata £$\not \exists$£, "non esiste", o la "A" al contrario £$\forall$£ "per ogni" ? Non sai bene quando e come usarli? Studiamo insieme in questa lezione cosa sono e quanti tipi di quantificatori esistono.
Quantificatore esistenziale: £$\exists$£ indica che almeno un elemento dell'insieme che stiamo considerando possiede quella caratteristica. Si legge “esiste".
Quantificatore universale: £$ \forall $£ indica che tutti gli elementi dell'insieme che stiamo considerando possiedono quella caratteristica. Si legge “per ogni".
Negazione dei quantificatori: il simbolo £$ \not \exists $£ indica che nessuno degli elementi dell'insieme che stiamo considerando possiede quella caratteristica. Si legge “nessuno" o “non esiste".
Attenzione! £$ \not \exists $£ non è la negazione del quantificatore £$\forall$£.
Contenuti di questa lezione su: I quantificatori
Il quantificatore universale
Il quantificatore universale indica che tutti gli elementi dell’insieme che stiamo considerando possiedono una determinata caratteristica.
Si indica con il simbolo £$ \forall $£ e si legge “per ogni”, ma ad esso vengono ricondotte anche le espressioni del tipo “ad ogni”, “tutti”.
Ad esempio:
“Tutti gli studenti della classe hanno avuto voto maggiore di £$6$£”
Verrà tradotto in termini logici con l’espressione:
“Ad ogni studente della classe corrisponde un voto maggiore di £$6$£”
In termini matematici:
£$ \forall \ S \in C \ \vert \ V > 6$£; con £$S=$£ studente, £$C=$£ insieme classe, £$V=$£voto.
Il quantificatore esistenziale
Il quantificatore esistenziale indica che almeno un elemento dell’insieme che stiamo considerando possiede una specifica caratteristica.
Si legge “esiste” e si indica con il simbolo £$ \exists $£, ma ad essa si riconducono anche espressioni del tipo “esiste almeno uno”, “alcuni”.
Ad esempio, l’espressione:
“Alcuni studenti della classe hanno avuto un voto maggiore di £$8$£”.
Può essere espressa anche con l’espressione:
“Esiste almeno uno studente della classe che ha avuto un voto maggiore di £$8$£”.
Il fatto che si dica “almeno uno” implica che possono essercene £$1, 2, 3,$£ pochi o molti (cioè alcuni) o tutti!
In termini matematici:
£$\exists \ S \in C \ \vert \ V > 8$£; dove £$S=$£ studente, £$C=$£ insieme classe, £$V=$£ voto.
Se intendiamo dire invece che solo uno studente della classe ha avuto voto maggiore di £$8$£, allora al quantificatore esistenziale dobbiamo affiancare un punto esclamativo in modo che si indichi oltre all’esistenza anche l’unicità.
£$\exists ! $£
In termini matematici:
£$\exists ! \ S \in C \ \vert \ V >10$£; con £$S=$£ studente, £$C=$£ insieme classe, £$V=$£voto.
In questo caso il quantificatore diventa di esistenza ed unicità.
Negazione del quantificatore universale
“Tutti i gatti nel palazzo sono neri”.
Qual è la sua negazione?
Attenzione: NON è “Nessun gatto nel palazzo è nero”
“Non tutti i gatti nel palazzo sono neri” che si può esprimere sbarrando il quantificatore universale.
£$\not \forall$£
Tale espressione negata può essere espressa anche:
“Esistono gatti nel palazzo che non sono neri”, oppure
“Esiste almeno un gatto nel palazzo che non è nero”.
Attenzione: il quantificatore universale può essere negato utilizzando il quantificatore esistenziale.
Negazione del quantificatore esistenziale
“Esistono gatti azzurri’”
Risposta:
“Non esistono gatti azzurri.’’
In questo caso, basta sostituire il quantificatore esistenziale con il suo negato £$\nexists$£ che si legge “non esiste”.
E possibile negare il quantificatore esistenziale anche utilizzando il quantificatore universale. Ad esempio:
“Per ogni gatto, esso non è azzurro”.
Attenzione: il quantificatore esistenziale può essere negato utilizzando il quantificatore universale.
