I quantificatori

Impara a riconoscere e utilizzare i quantificatori esistenziali e universali, il quantificatore di esistenza ed unicità e la negazione dei quantificatori.

Cosa significa in matematica la "e" al contrario: £$\exists$£, che sta per "esiste", la "e" sbarrata £$\not \exists$£, "non esiste", o la "A" al contrario £$\forall$£ "per ogni" ? Non sai bene quando e come usarli? Studiamo insieme in questa lezione cosa sono e quanti tipi di quantificatori esistono.

Quantificatore esistenziale: £$\exists$£ indica che almeno un elemento dell'insieme che stiamo considerando possiede quella caratteristica. Si legge “esiste".

Quantificatore universale: £$ \forall $£ indica che tutti gli elementi dell'insieme che stiamo considerando possiedono quella caratteristica. Si legge “per ogni".

Negazione dei quantificatori: il simbolo £$ \not \exists $£ indica che nessuno degli elementi dell'insieme che stiamo considerando possiede quella caratteristica. Si legge “nessuno" o “non esiste".
Attenzione! £$ \not \exists $£ non è la negazione del quantificatore £$\forall$£.

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Prerequisiti per imparare i quantificatori

I prerequisiti per imparare i quantificatori sono:

Il quantificatore universale

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Il quantificatore universale indica che tutti gli elementi dell’insieme che stiamo considerando possiedono una determinata caratteristica.

Si indica con il simbolo £$ \forall $£ e si legge “per ogni”, ma ad esso vengono ricondotte anche le espressioni del tipo “ad ogni”, “tutti”.

Ad esempio:

“Tutti gli studenti della classe hanno avuto voto maggiore di £$6$£”

Verrà tradotto in termini logici con l’espressione:

“Ad ogni studente della classe corrisponde un voto maggiore di £$6$£”

In termini matematici:

£$ \forall \ S \in C \ \vert \ V > 6$£; con £$S=$£ studente, £$C=$£ insieme classe, £$V=$£voto.

Il quantificatore esistenziale

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Il quantificatore esistenziale indica che almeno un elemento dell’insieme che stiamo considerando possiede una specifica caratteristica.

Si legge “esiste” e si indica con il simbolo £$ \exists $£, ma ad essa si riconducono anche espressioni del tipo “esiste almeno uno”, “alcuni”.

Ad esempio, l’espressione:

“Alcuni studenti della classe hanno avuto un voto maggiore di £$8$£”.

Può essere espressa anche con l’espressione:

“Esiste almeno uno studente della classe che ha avuto un voto maggiore di £$8$£”.

Il fatto che si dica “almeno uno” implica che possono essercene £$1, 2, 3,$£ pochi o molti (cioè alcuni) o tutti!

In termini matematici:

£$\exists \ S \in C \ \vert \ V > 8$£; dove £$S=$£ studente, £$C=$£ insieme classe, £$V=$£ voto.

Se intendiamo dire invece che solo uno studente della classe ha avuto voto maggiore di £$8$£, allora al quantificatore esistenziale dobbiamo affiancare un punto esclamativo in modo che si indichi oltre all’esistenza anche l’unicità.

£$\exists ! $£

In termini matematici:

£$\exists ! \ S \in C \ \vert \ V >10$£; con £$S=$£ studente, £$C=$£ insieme classe, £$V=$£voto.

In questo caso il quantificatore diventa di esistenza ed unicità.

Negazione del quantificatore universale

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“Tutti i gatti nel palazzo sono neri”.

Qual è la sua negazione?

Attenzione: NON è “Nessun gatto nel palazzo è nero”

“Non tutti i gatti nel palazzo sono neri” che si può esprimere sbarrando il quantificatore universale.

£$\not \forall$£

Tale espressione negata può essere espressa anche:

“Esistono gatti nel palazzo che non sono neri”, oppure

“Esiste almeno un gatto nel palazzo che non è nero”.

Attenzione: il quantificatore universale può essere negato utilizzando il quantificatore esistenziale.

Negazione del quantificatore esistenziale

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“Esistono gatti azzurri’”

Risposta:

“Non esistono gatti azzurri.’’

In questo caso, basta sostituire il quantificatore esistenziale con il suo negato £$\nexists$£ che si legge “non esiste”.

E possibile negare il quantificatore esistenziale anche utilizzando il quantificatore universale. Ad esempio:

“Per ogni gatto, esso non è azzurro”.

Attenzione: il quantificatore esistenziale può essere negato utilizzando il quantificatore universale.

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