Funzione inversa e funzione composta

Impara cos'è una funzione inversa e quali funzioni hanno la funzione inversa. Scopri che cos' è una funzione composta e come comporre due o più funzioni.

Una volta che abbiamo una funzione £$f: A \to B $£ esiste una funzione che "torna indietro"? Cioè esiste una funzione che va da £$B$£ ad £$A$£?
Quando questa funzione esiste, si chiama funzione inversa.
Possiamo anche comporre due o più funzioni. Ma cosa significa "comporre le funzioni"? Significa creare una nuova funzione che ha il dominio della prima funzione e il codominio della seconda. L'espressione è "un'unione delle espressioni" delle funzioni usate nella composizione.

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Prerequisiti per imparare funzione inversa e funzione composta

I prerequisiti per imparare funzione inversa e funzione composta sono:

Funzione inversa

La funzione inversa è una funzione che ha:

  • dominio uguale al codominio della funzione di partenza;
  • codominio uguale al dominio della funzione di partenza.

Le funzioni che ammettono funzione inversa sono quelle biunivoche, perché c'è una corrispondenza uno a uno tra gli elementi del dominio e del codominio (che coincide con l'insieme di arrivo perché suriettiva).
Quindi se £$f: A \to B$£ è biunivoca, la funzione inversa £$f^{-1}:B \to A $£ associa a ogni elemento £$y$£ di £$B$£ l'elemento £$x$£ di £$A$£ tale che £$y$£ è immagine di £$x$£ tramite £$f$£.
Il grafico della funzione inversa è simmetrico rispetto alla retta £$ y= x$£ (bisettrice del I e III quadrante).

Funzione composta

La funzione composta è ottenuta a partire da due (o più funzioni) semplicemente applicando prima una funzione e poi l'altra.
Ad esempio, componiamo le funzioni £$f(x) = x+1 $£ e £$g(x) = x^2$£:

  1. partiamo da £$x$£ e applichiamo la £$f$£: £$x \to x+1$£
  2. ora applichiamo la £$g$£: £$x+1 \to (x+1)^2$£

e abbiamo la nuova funzione composta £$h(x)=g(f(x))=(x+1)^2$£.
Possiamo scrivere £$h = g \circ f$£: prima applichiamo la £$f$£ e poi la £$g$£.

Attenzione! L'ordine è importante. Infatti in generale £$g\circ f \ne f \circ g$£.

All'interrogazione...

Cosa potrebbe chiederti il prof all'interrogazione? Abbiamo provato ad immaginarcelo...

Sei in grado di rispondere a queste domande? Se vuoi puoi rivedere la lezione e allenarti con gli esercizi!

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Esercizi svolti Funzione inversa e funzione composta

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Esercizi Funzione inversa e funzione composta - 1

Esercizi Funzione inversa e funzione composta - 2

Esercizi Funzione inversa e funzione composta - 3

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