Proprietà delle funzioni

Scopri le proprietà delle funzioni, cosa sono le funzione iniettive, suriettive e biunivoche, quando una funzione è crescente o decrescente, quando una funzione è pari o dispari.

Continua il percorso nell'analisi matematica, in particolare nello studio di funzioni. In questa lezione vediamo le proprietà delle funzioni che ci aiutano nello studio. Infatti conoscere le proprietà delle funzioni permette di fare meno calcoli e uno studio di funzione più veloce e semplice.
Possiamo capire se una funzione ha una determinata proprietà attraverso lo studio analitico della funzione (facendo cioè i calcoli) oppure attraverso il grafico (se già lo abbiamo).

In questa lezione vediamo:

  • funzioni iniettive, suriettive, biunivoche: le funzioni hanno delle proprietà che possiamo usare per studiarle meglio e più velocemente
  • funzioni crescenti e decrescenti: lo studio degli intervalli di monotonia della funzione è importante per capirne il comportamento
  • funzioni pari e dispari: alcune funzioni possono essere simmetriche rispetto all'asse £$y$£ (funzione pari) oppure rispetto all'origine degli assi (funzione dispari)


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Prerequisiti per imparare le proprietà delle funzioni

Il prerequisito per imparare le proprietà delle funzioni é:

Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche

Una funzione può essere iniettiva, suriettiva oppure tutt'e due. In questo caso diciamo che la funzione è biunivoca. Attenzione però: una funzione può non essere né iniettiva né suriettiva.

Una funzione è:

  • iniettiva se OGNI elemento del codominio è immagine di un solo elemento del dominio;
  • suriettiva se il codominio coincide con l'insieme di arrivo;
  • biunivoca se è iniettiva e suriettiva.

Monotonia della funzione

Una funzione è crescente se presi £$x_1 $£ e £$ x_2 $£ tali che £$x_1 \le x_2$£ allora £$ f(x_1) \le f(x_2) $£. Il grafico della funzione "va verso l'alto".
Una funzione è decrescente se presi £$x_1 $£ e £$ x_2 $£ tali che £$x_1 \le x_2$£ allora £$ f(x_1) \ge f(x_2) $£. Il grafico della funzione "va verso il basso".
Una funzione può essere crescente o decrescente in tutto il dominio, oppure crescente in un intervallo e decrescente in un altro.

Funzioni pari e dispari

Una funzione è pari se i valori che assume per £$x < 0$£ sono uguali a quelli per £$x > 0 $£ vale a dire £$f(-x) = f(x)$£. Graficamente, una funzione pari ha il grafico simmetrico rispetto all'asse £$y$£.
Un esempio di funzione pari è £$y=x^2$£.

Una funzione è dispari se £$ f(x) = -f(-x)$£. In questo caso, il grafico della funzione è simmetrico rispetto all'origine degli assi.
Un esempio di funzione dispari è £$y=x^3$£.

A cosa serve sapere se una funzione è pari o dispari? Ci permette di studiare la funzione solo per £$x \ge 0 $£ perché per le £$x < 0 $£ usiamo la simmetria.

Ovviamente le funzioni possono anche non essere né pari né dispari.

All'interrogazione potrebbero chiederti...

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Esercizi svolti Proprietà delle funzioni

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Esercizi Proprietà delle funzioni - 1

Esercizi Proprietà delle funzioni - 2

Esercizi Proprietà delle funzioni - 3

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