Punti di discontinuità e asintoti verticali, orizzontali ed obliqui

Una funzione è continua in un intervallo £$[a,b]$£ se per ogni punto £$x_0$£ dell'intervallo è sempre verificato che £$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)=f(x_0)$£.

Se una funzione non è continua in un punto £$x_0$£, £$x_0$£ è punto di discontinuità. Esistono 3 tipi di discontinuità:

• discontinuità di prima specie - "a salto": esistono finiti i limiti destro e sinistro della funzione, ma hanno due valori diversi. £$\lim\limits_{x \to x_0^-}f(x)=l_1 \ne \lim\limits_{x \to x_0^+} f(x)=l_2$£
• discontinuità di seconda specie: almeno uno fra il limite destro (£$\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x)$£) e sinistro (£$\lim\limits_{x \to x_0^-}f(x)$£) della funzione è infinito o non esiste
• discontinuità di terza specie - "eliminabile": esiste finito il limite £$l$£ della funzione nel punto £$x_0$£: £$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)=l$£, ma la funzione o non è definita in quel punto, oppure è definita ma non è continua, ossia £$f(x_0) \ne l$£.

L'asintoto di una curva è una retta che si avvicina sempre di più alla funzione senza però toccarla mai: la distanza tra la retta e la curva tende a zero.

Come trovare e dove cercare un asintoto?

Cerchiamo gli asintoti nei punti in cui la funzione non è definita, oppure all'infinito. Per trovare gli asintoti della funzione £$f(x)$£, devi quindi calcolare dei limiti. Avrai:

• un asintoto verticale se £$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)= \infty$£. La retta £$x=x_0$£ è un asintoto verticale per la funzione £$f(x)$£
• un asintoto orizzontale se £$\lim\limits_{x \to \infty} f(x)=l$£, con £$l$£ finito. La retta £$y=l$£ è un asintoto orizzontale per la funzione £$f(x)$£.

Se il limite all'infinito è ancora un valore infinito abbiamo invece un probabile asintoto obliquo: £$\lim\limits_{x \to \infty} f(x)=\pm \infty$£

Quando esiste davvero l'asintoto obliquo e come posso trovare la sua equazione?

• Se esiste finito e non nullo il limite £$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$£, allora questo è proprio il coefficiente angolare £$m$£ dell'asintoto obliquo: £$m=\lim\limits_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$£.
• Se esiste l'£$m$£, puoi calcolare anche l'intercetta dell'asintoto obliquo £$q$£: £$q=\lim\limits_{x \to \infty} \left[ f(x)-mx \right]$£.