Punti di discontinuità e asintoti

Impara cosa sono e come classificare i punti di discontinuità: prima, seconda e terza specie. Scopri come trovare l'equazione di un asintoto verticale, orizzontale ed obliquo!

2019-04-03 06:27:31

Cos'è un asintoto e quali sono i punti di discontinuità? Qual è la definizione di continuità e discontinuità tramite i limiti? Impara come riconoscere le discontinuità di prima, seconda e terza specie. Impara in quali punti e come si cercano gli asintoti. Vediamo quali limiti risolvere per calcolare gli asintoti verticali, orizzontali ed obliqui.

In questa lezione imparerai:

  • Punti di discontinuità: definizione di funzione continua, di discontinuità in un punto e di discontinuità di prima, seconda e terza specie
  • Asintoti orizzontali e verticali: dove cercare, come calcolare e qual è l'equazione degli asintoti verticali ed orizzontali
  • Asintoti obliqui: quando esiste un probabile asintoto obliquo, quando è definito e qual è la sua equazione

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Prerequisiti per imparare punti di discontinuità e asintoti

I prerequisiti per imparare i punti di discontinuità e gli asintoti sono:

Punti di discontinuità

Una funzione è continua in un intervallo £$[a,b]$£ se per ogni punto £$x_0$£ dell'intervallo è sempre verificato che £$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)=f(x_0)$£.

Se una funzione non è continua in un punto £$x_0$£, £$x_0$£ è punto di discontinuità. Esistono 3 tipi di discontinuità:

  • discontinuità di prima specie - "a salto": esistono finiti i limiti destro e sinistro della funzione, ma hanno due valori diversi. £$\lim\limits_{x \to x_0^-}f(x)=l_1 \ne \lim\limits_{x \to x_0^+} f(x)=l_2$£
  • discontinuità di seconda specie: almeno uno fra il limite destro (£$\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x)$£) e sinistro (£$\lim\limits_{x \to x_0^-}f(x)$£) della funzione è infinito o non esiste
  • discontinuità di terza specie - "eliminabile": esiste finito il limite £$l$£ della funzione nel punto £$x_0$£: £$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)=l$£, ma la funzione o non è definita in quel punto, oppure è definita ma non è continua, ossia £$f(x_0) \ne l$£.

Asintoti orizzontali e verticali

L'asintoto di una curva è una retta che si avvicina sempre di più alla funzione senza però toccarla mai: la distanza tra la retta e la curva tende a zero.

Come trovare e dove cercare un asintoto?

Cerchiamo gli asintoti nei punti in cui la funzione non è definita, oppure all'infinito. Per trovare gli asintoti della funzione £$f(x)$£, devi quindi calcolare dei limiti. Avrai:

  • un asintoto verticale se £$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)= \infty$£. La retta £$x=x_0$£ è un asintoto verticale per la funzione £$f(x)$£
  • un asintoto orizzontale se £$\lim\limits_{x \to \infty} f(x)=l$£, con £$l$£ finito. La retta £$y=l$£ è un asintoto orizzontale per la funzione £$f(x)$£.

Asintoti obliqui

Se il limite all'infinito è ancora un valore infinito abbiamo invece un probabile asintoto obliquo: £$\lim\limits_{x \to \infty} f(x)=\pm \infty$£

Quando esiste davvero l'asintoto obliquo e come posso trovare la sua equazione?

  • Se esiste finito e non nullo il limite £$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$£, allora questo è proprio il coefficiente angolare £$m$£ dell'asintoto obliquo: £$m=\lim\limits_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$£.
  • Se esiste l'£$m$£, puoi calcolare anche l'intercetta dell'asintoto obliquo £$q$£: £$q=\lim\limits_{x \to \infty} \left[ f(x)-mx \right]$£.

Esercizi su discontinuità e asintoti

Ora che hai cosa può "andare storto" nello studio di una funzione e nel calcolo dei limiti, perfeziona le tue conoscenze provando a risolvere questi esercizi sui punti di discontinuità e sul calcolo degli asintoti orizzontali, verticali e obliqui!

Sfida sulle discontinuità

Ormai devi sistemare il WiFi di tutti! Ma è facile visto che sei un mago dei limiti!

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Esercizi svolti Punti di discontinuità e asintoti

Ecco gli esercizi su Punti di discontinuità e asintoti in ordine di difficoltà crescente, completi di procedimento, spiegazione e soluzione. Ogni esercizio è in forma di domanda con 3 o 4 opzioni di risposta. Gli esercizi sono interattivi e danno feedback immediato. Ogni esercizio spiegato ti aiuta a studiare e ripassare velocemente per l'interrogazione ed il compito su Limiti. Allenati con gli esercizi svolti di matematica, accumula punti e entra in classifica! Completa tutti i livelli di difficoltà dell'esercitazione per migliorare i tuoi voti in Relazioni e funzioni

Esercizi Punti di discontinuità e asintoti - 1

Esercizi Punti di discontinuità e asintoti - 2

Esercizi Punti di discontinuità e asintoti - 3

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