Punti di discontinuità e asintoti di una funzione

Agostino Sapienza

INSEGNANTE DI MATEMATICA

Sono nato a Reggio Calabria il 07/10/85. Mi sono diplomato nel 2005 all'Istituto Magistrale Statale Tommaso Gulli. Ho conseguito la laurea triennale in Relazioni Internazionali a Messina e in Economia Internazionale a Padova. Dopo un pò di anni negli studi commercialisti sono stato chiamato per una supplenza covid nella classe di insegnamento A47. Ho poi conseguito l'abilitazione a Trieste nel sostegno e sono entrato di ruolo nel 2023

Impara cosa sono e come classificare i punti di discontinuità: prima, seconda e terza specie. Scopri come trovare l’equazione di un asintoto verticale, orizzontale ed obliquo!

Cos’è un asintoto e quali sono i punti di discontinuità? Qual è la definizione di continuità e discontinuità tramite i limiti? Impara come riconoscere le discontinuità di prima, seconda e terza specie. Impara in quali punti e come si cercano gli asintoti. Vediamo quali limiti risolvere per calcolare gli asintoti verticali, orizzontali ed obliqui.

In questa lezione imparerai:

Punti di discontinuità: definizione di funzione continua, di discontinuità in un punto e di discontinuità di prima, seconda e terza specie
Asintoti orizzontali e verticali: dove cercare, come calcolare e qual è l’equazione degli asintoti verticali ed orizzontali
Asintoti obliqui: quando esiste un probabile asintoto obliquo, quando è definito e qual è la sua equazione

Cosa sono i punti di discontinuità
Asintoti orizzontali e verticali
Asintoti obliqui
Esercizi su discontinuità e asintoti
Sfida sulle discontinuità

Cosa sono i punti di discontinuità

Una funzione è continua in un intervallo £$[a,b]$£ se per ogni punto £$x_0$£ dell’intervallo è sempre verificato che £$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)=f(x_0)$£.

Se una funzione non è continua in un punto £$x_0$£, £$x_0$£ è punto di discontinuità. Esistono 3 tipi di discontinuità:

discontinuità di prima specie ("a salto"): esistono finiti i limiti destro e sinistro della funzione, ma hanno due valori diversi. £$\lim\limits_{x \to x_0^-}f(x)=l_1 \ne \lim\limits_{x \to x_0^+} f(x)=l_2$£
discontinuità di seconda specie: almeno uno fra il limite destro (£$\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x)$£) e sinistro (£$\lim\limits_{x \to x_0^-}f(x)$£) della funzione è infinito o non esiste
discontinuità di terza specie ("eliminabile"): esiste finito il limite £$l$£ della funzione nel punto £$x_0$£: £$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)=l$£, ma la funzione o non è definita in quel punto, oppure è definita ma non è continua, ossia £$f(x_0) \ne l$£.

Asintoti orizzontali e verticali

L’asintoto di una curva è una retta che si avvicina sempre di più alla funzione senza però toccarla mai: la distanza tra la retta e la curva tende a zero.

Come trovare e dove cercare un asintoto?

Cerchiamo gli asintoti nei punti in cui la funzione non è definita, oppure all’infinito. Per trovare gli asintoti della funzione £$f(x)$£, devi quindi calcolare dei limiti. Avrai:

un asintoto verticale se £$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)= \infty$£. La retta £$x=x_0$£ è un asintoto verticale per la funzione £$f(x)$£
un asintoto orizzontale se £$\lim\limits_{x \to \infty} f(x)=l$£, con £$l$£ finito. La retta £$y=l$£ è un asintoto orizzontale per la funzione £$f(x)$£.

Asintoti obliqui

Se il limite all’infinito è ancora un valore infinito abbiamo invece un probabile asintoto obliquo: £$\lim\limits_{x \to \infty} f(x)=\pm \infty$£

Quando esiste davvero l’asintoto obliquo e come posso trovare la sua equazione?

Se esiste finito e non nullo il limite £$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$£, allora questo è proprio il coefficiente angolare £$m$£ dell’asintoto obliquo: £$m=\lim\limits_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$£.
Se esiste l’£$m$£, puoi calcolare anche l’intercetta dell’asintoto obliquo £$q$£: £$q=\lim\limits_{x \to \infty} \left[ f(x)-mx \right]$£.

Esercizi su discontinuità e asintoti

Testo e soluzione:

Ora che sai cosa potrebbe "andare storto" nello studio di una funzione e nel calcolo dei limiti, perfeziona le tue conoscenze provando a risolvere questi esercizi sui punti di discontinuità e sul calcolo degli asintoti orizzontali, verticali e obliqui!