Teoremi sulle funzioni continue: teorema degli zeri e teorema di Weierstrass

Il teorema degli zeri assicura che il grafico di una funzione continua che assume valori positivi e negativi in un intervallo £$[a,b]$£ interseca l'asse £$x$£ almeno una volta. Tutte le funzioni che rispettano questa proprietà sono continue nell'intervallo £$[a,b]$£ e tali che £$f(a) \cdot f(b) <0$£.

Con il teorema degli zeri possiamo dimostrare che tutti i polinomi di grado dispari si annullano almeno una volta.
Gli esercizi svolti ti aiuteranno a prepararti per i quesiti della maturità.

L'enunciato del teorema di Weierstrass dice che ogni funzione £$f$£ continua nell'intervallo £$[a,b]$£ chiuso e limitato ammette massimo e minimo assoluti nell'intervallo £$[a,b]$£.

Il massimo assolutodi una funzione è il più grande valore assunto dalla funzione nel dominio, il minimo assoluto, invece, è il più piccolo valore assunto dalla funzione nel dominio. Se anziché considerare tutto il dominio prendiamo solo un suo sottoinsieme, allora troviamo i valori massimi e minimi assunti dalla funzione in quel sottoinsieme. Questi punti si chiamano massimi e minimi relativi.

Ricorda che il teorema di Weiwerstrass è una condizione sufficiente ma non necessaria cioè se una funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato allora ammette massimo e minimo assoluti, ma esistono funzioni non continue in un intervallo chiuso e limitato che ammettono massimo e minimo assoluti nell'intervallo considerato.

Per capire bene il teorema degli zeri e il teorema di Weierstrass devi allenarti.

Qui trovi alcuni esercizi fatti apposta per questo. Ne trovi altri nei tre livelli della lezione!