Teoremi sui limiti, limiti notevoli, infiniti e infinitesimi e forme indeterminate

Per calcolare i limiti, possono esserti utili alcuni teoremi. Qui ne trovi due (forse quelli più utili nel calcolo).

Il teorema del confronto (o dei due carabinieri) permette di confrontare il limite di due funzioni ed è utile quando non sappiamo calcolare il limite di una funzione £$f(x)$£ oppure quando il calcolo del limite è complicato e riusciamo a trovare il risultato tramite due funzioni ausiliarie.

Il teorema della permanenza del segno dice che se £$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)=l>0$£ allora esiste un intorno del punto £$x_0$£ tale che £$f(x)>0$£ per ogni £$x$£ appartenente all'intorno. Quindi vicino al punto £$x_0$£ la funzione ed il suo limite hanno lo stesso segno.

I limiti notevoli sono limiti di funzioni che servono a velocizzare il calcolo di altri limiti:

• £$ \lim\limits_{x \to 0} \frac{sen \ x}{x}=1$£;
• £$ \lim\limits_{x \to 0} \frac{1- cos \ x}{x}=0$£;
• £$ \lim\limits_{x \to 0} \frac{1-cos \ x}{x^2}=\frac{1}{2}$£;
• £$ \lim\limits_{x \to \infty} \left(1+\frac{1}{x} \right)^x=e$£.

Tutti i limiti notevoli si dimostrano tramite le regole della goniometria, il teorema del confronto e della permanenza del segno.

I limiti notevoli servono per risolvere le forme indeterminate, in particolare quella della forma £$1^{\infty}$£.

Cosa sono gli infiniti e gli infinitesimi? Sono dei nomi che diamo alle funzioni a seconda che:

• il limite per £$x \to x_0$£ sia infinito. In questo caso la funzione è un infinito;
• il limite per £$x \to x_0$£ sia uguale a zero. In questo caso la funzione è un infinitesimo.

Ci sono funzioni che tendono a infinito o a zero più "velocemente" di altre, più correttamente si dice che ci sono infiniti e infinitesimi di ordine superiore. Sapere in che ordine le funzioni tendono a infinito o a zero e avere quindi un confronto fra infiniti e infinitesimi ci aiuta a risolvere forme indeterminate del tipo £$\frac{\infty}{\infty}$£ o £$\frac{0}{0}$£ che chiamiamo anche rapporto tra infiniti o tra infinitesimi rispettivamente.

Il calcolo dei limiti con i limiti notevoli è molto importante perché ti permette di calcolare i limiti meglio e più velocemente, risolvendo facilmente le forme indeterminate. Allenati anche con il calcolo del limite di un rapporto tra infiniti o infinitesimi.