Curva logaritmica e trasformazioni geometriche: traslazione, simmetria e omotetia

In questa lezione vediamo le trasformazioni che subisce il grafico di £$y=log_ax$£ quando si applicano alcune di queste operazioni. Prendiamo come esempio il grafico «base» di £$y=ln \ x$£ dato che (con poco rigore matematico) possiamo dire che le funzioni logaritmiche, al variare della base, alla fine si assomigliano un po' tutte!
Iniziamo dalle operazioni che hanno l'effetto di traslare il grafico in orizzontale (cioè lungo l'asse £$x$£) o verticale (cioè lungo l'asse £$y$£).

• Traslazione orizzontale: £$y=ln(x+a)$£. Il grafico viene spostato verso sinistra se £$a>0$£ (a destra se £$a<0$£) di un intervallo pari a £$|a|$£;
• Traslazione verticale: £$y=ln(x)+b$£. Il grafico viene spostato verso l'alto se £$b>0$£ (verso il basso se £$b<0$£)di un intervallo pari a £$|b|$£.

Applichiamo un'omotetia, quando moltiplichiamo l'argomento del logaritmo o l'intera espressione, per un coefficiente £$k$£, cioè scriviamo £$y =ln(kx)$£ o £$y=k ln(x)$£
Attenzione! Le omotetie sono trasformazioni nel piano che hanno la proprietà di dilatare o contrarre le figure a cui sono applicate.
Iniziamo a vedere cosa succede applicando un'omotetia all'argomento: £$y=ln(kx)$£. La trasformazione è «orizzontale» (avviene lungo l'asse £$x$£) e, in particolare, abbiamo:

• Compressione se £$k>1$£: il grafico di £$y=ln x$£ viene "schiacciato" contro l'asse £$y$£;
• Dilatazione se £$0<k<1$£: il grafico di £$y=ln x$£ viene dilatato in direzione dell'asse £$x$£, è come se "tirassimo" la curva tenendo fermo l'asintoto sull'asse £$y$£.

Invece, se applichiamo un'omotetia all'intero logaritmo, ovvero £$y=k ln(x)$£, la trasformazione è «verticale» (avviene lungo l'asse £$y$£) e, in particolare, abbiamo:

• Compressione se £$0<k<1$£: la curva base £$y=ln x$£ viene "schiacciata" sull'asse £$x$£ facendola però passare per £$(1;0)$£;
• Dilatazione se £$k>1$£: il grafico base viene dilatato verticalmente, ossia lungo l'asse £$y$£, è come se "tirassimo" la curva verso l'alto mantenendola ancorata al punto £$(1;0)$£.

Per ora abbiamo considerato solamente omotetie con coefficienti positivi.
Prima di scoprire cosa succede con coefficienti negativi, studiamone uno in particolare, ovvero il caso £$k=-1$£
La situazione è analoga a quella che abbiamo studiato con la funzione esponenziale.
La trasformazione è un'isometria, perché £$|k|=1$£, in particolare, è una simmetria:

• £$y=ln(-x)$£ è la curva che si ottiene da quella di partenza disegnando la sua simmetrica rispetto all'asse £$y$£;
• £$y=-lnx$£ è la curva che si ottiene da quella di partenza disegnando la sua simmetrica rispetto all'asse £$x$£;
• £$y=-ln(-x)$£ è la curva che si ottiene componendo le due simmetrie, ovvero applicando prima quella rispetto all'asse £$x$£ e poi quella rispetto all'asse £$y$£ (o viceversa): troviamo quindi la simmetrica rispetto all'origine £$O$£.

Adesso studiamo l'aspetto della curva quando il coefficiente dell'omotetia è negativo.
Per la funzione £$y=ln(kx)$£ con £$k<0$£ valgono le stesse cose che abbiamo detto per £$y=ln(kx)$£ con £$k>0$£, solo che dobbiamo considerare la simmetrica rispetto all'asse £$y$£!
Dobbiamo quindi applicare una composizione di trasformazioni: prima un'omotetia e poi una simmetria!

L'ultimo caso da esaminare è quello che vede coinvolti i valori assoluti.
Distinguiamo due casi:

1. Se applichiamo il modulo all'argomento: £$y=ln|x|$£, liberandoci del modulo troviamo: £$y=ln|x|=\begin{cases} y=ln(x) \ \ se \ x>0 \\ y=ln(-x) \ \ se \ x<0\end{cases}$£
   In pratica nello stesso piano dobbiamo disegnare sia la curva base £$y=ln x$£ sia la sua simmetrica rispetto all'asse £$y$£!
2. Se applichiamo il modulo all'intero logaritmo: £$y=|ln x|$£, liberandoci del modulo troviamo: £$y=|ln \ x|=\begin{cases} y=ln \ x \ \ se \ lnx>0 \\ y=-ln \ x \ \ se \ lnx<0 \end{cases}$£
   In pratica dobbiamo disegnare la curva base £$y=ln x$£, ribaltando però sopra l'asse £$x$£ tutti i tratti della curva che hanno ordinate negative!

Proviamo a tracciare la curva applicando il modulo sia all'argomento sia all'intero logaritmo £$y=\left| ln|x| \right|$£. Per disegnarla, basta eseguire, in qualsiasi ordine, i passaggi che abbiamo visto per i singoli casi:

• ribaltiamo tutto ciò che si trova sotto l'asse delle ascisse
• facciamo il simmetrico rispetto all'asse delle ascisse, o viceversa.

Il giorno dell'interrogazione si avvicina! Non farti cogliere impreparato. Prova a rispondere a queste domande per verificare quanto ne sai sul grafico del logaritmo e le trasformazioni geometriche!