Grafico del logaritmo, curva logaritmica, funzione esponenziale e funzione logaritmica

Tracciamo nel piano cartesiano il grafico della funzione £$y=log_ax$£ con £$a>0$£ ed a diverso da £$1$£, cioè riportiamo sull'asse delle ascisse i valori dell'argomento £$x$£ e sull'asse delle ordinate i corrispondenti valori di £$log_ax$£.
Dobbiamo distinguere due casi:

1. £$0<a<1$£;
2. £$a>1$£.

Nel primo caso, ossia quello in cui la base è compresa fra 0 ed 1, le proprietà della curva sono:

• Dominio: £$\mathbb{R}^+$£ tutti i numeri reali postivi, 0 escluso. Ciò significa che la curva si trova tutta a destra dell'asse £$y$£;
• Codominio: £$\mathbb{R}$£ tutti i numeri reali, 0 incluso: infatti, la curva interseca l'asse £$x$£ in £$(1;0)$£;
• Monotonia: la curva è sempre decrescente nel suo dominio.

Osserviamo inoltre che, man mano che prendiamo valori di £$x$£ sempre più piccoli, cioè quando £$x$£ si avvicina molto a £$0$£, la curva si avvicina sempre di più all'asse £$y$£, ma senza mai toccarlo: l'asse delle ordinate è un asintoto verticale.

Le proprietà principali della curva logaritmica con base maggiore di 1 sono:

• Dominio: £$\mathbb{R}^+$£ ovvero, i numeri reali positivi, zero escluso. Ciò significa che la curva si trova tutta a destra dell'asse £$y$£;
• Codominio: £$\mathbb{R}$£ ovvero, tutti i numeri reali, zero incluso. Infatti, anche in questo caso, la curva interseca l'asse £$x$£ in £$(1;0)$£;
• Monotonia: la curva è sempre crescente nel suo dominio.

Anche qui osserviamo che, man mano che prendiamo valori di £$x$£ sempre più piccoli, cioè quando £$x$£ si avvicina molto a £$0$£, la curva si avvicina sempre di più all'asse £$y$£, ma senza mai toccarla: l'asse delle ordinate è un asintoto verticale.
Attenzione! In questo caso la curva si avvicina all'asse £$y$£ con ordinate negative in modulo sempre più grandi.

Abbiamo visto che la funzione esponenziale è biiettiva (o biunivoca). Da un punto di vista pratico, ciò significa che ad ogni elemento del dominio corrisponde uno e un solo elemento del codominio.
In queste condizioni, possiamo invertire la funzione £$y=a^x$£ e riscriverla passando ai logaritmi: £$x=log_ay$£.
Se scambiamo la £$x$£ con la £$y$£, otteniamo £$y=log_ax$£: è proprio la funzione logaritmica!
Dunque, la funzione logaritmica è l'inversa della funzione esponenziale.
Graficamente, scambiare £$x$£ con £$y$£ (cioè invertire la funzione) significa disegnare la curva simmetrica rispetto alla bisettrice di I e III quadrante.

Prova a rispondere a queste domande per verificare quanto ne sai sul grafico del logaritmo! Ricorda che puoi sempre riguardare la lezione e allenarti con gli esercizi!