Il grafico del logaritmo: la curva logaritmica

Impara a fare il grafico di un logaritmo. Studia la curva logaritmica con a compreso tra 0 e 1 e anche con a maggiore di 1. Infine scopri la funzione esponenziale e la funzione logaritmica.

La curva logaritmica è il grafico della funzione logaritmo. Vuoi imparare a disegnarla? Vuoi sapere quali sono il suo dominio e codominio? È una funziona monotona? Oltre a tutte queste proprietà della curva logaritmica impariamo anche a passare dal grafico dell'esponenziale a quello del logaritmo! Ti potrebbe essere molto utile perfino per la maturità!

In questa video lezione imparerai:

  • Curva logaritmica con 0<a<1: quali sono le caratteristiche principali e come disegnarla
  • Curva logaritmica con a>1: quali sono le caratteristiche principali e come disegnarla
  • Funzione logaritmica e funzione esponenziale: legami fra i grafici delle due funzioni

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Prerequisiti per imparare la curva logaritmica

Il prerequisito per imparare la curva logaritmica è:

Curva logaritmica: caso a compreso tra 0 e 1

Tracciamo nel piano cartesiano il grafico della funzione £$y=log_ax$£ con £$a>0$£ ed a diverso da £$1$£, cioè riportiamo sull'asse delle ascisse i valori dell'argomento £$x$£ e sull'asse delle ordinate i corrispondenti valori di £$log_ax$£.
Dobbiamo distinguere due casi:

  1. £$0<a<1$£;
  2. £$a>1$£.

Nel primo caso, ossia quello in cui la base è compresa fra 0 ed 1, le proprietà della curva sono:

  • Dominio: £$\mathbb{R}^+$£ tutti i numeri reali postivi, 0 escluso. Ciò significa che la curva si trova tutta a destra dell'asse £$y$£;
  • Codominio: £$\mathbb{R}$£ tutti i numeri reali, 0 incluso: infatti, la curva interseca l'asse £$x$£ in £$(1;0)$£;
  • Monotonia: la curva è sempre decrescente nel suo dominio.

Osserviamo inoltre che, man mano che prendiamo valori di £$x$£ sempre più piccoli, cioè quando £$x$£ si avvicina molto a £$0$£, la curva si avvicina sempre di più all'asse £$y$£, ma senza mai toccarlo: l'asse delle ordinate è un asintoto verticale.

Curva logaritmica: caso a maggiore di 1

Le proprietà principali della curva logaritmica con base maggiore di 1 sono:

  • Dominio: £$\mathbb{R}^+$£ ovvero, i numeri reali positivi, zero escluso. Ciò significa che la curva si trova tutta a destra dell'asse £$y$£;
  • Codominio: £$\mathbb{R}$£ ovvero, tutti i numeri reali, zero incluso. Infatti, anche in questo caso, la curva interseca l'asse £$x$£ in £$(1;0)$£;
  • Monotonia: la curva è sempre crescente nel suo dominio.

Anche qui osserviamo che, man mano che prendiamo valori di £$x$£ sempre più piccoli, cioè quando £$x$£ si avvicina molto a £$0$£, la curva si avvicina sempre di più all'asse £$y$£, ma senza mai toccarla: l'asse delle ordinate è un asintoto verticale.
Attenzione! In questo caso la curva si avvicina all'asse £$y$£ con ordinate negative in modulo sempre più grandi.

Funzione logaritmica e funzione esponenziale

Abbiamo visto che la funzione esponenziale è biiettiva (o biunivoca). Da un punto di vista pratico, ciò significa che ad ogni elemento del dominio corrisponde uno e un solo elemento del codominio.
In queste condizioni, possiamo invertire la funzione £$y=a^x$£ e riscriverla passando ai logaritmi: £$x=log_ay$£.
Se scambiamo la £$x$£ con la £$y$£, otteniamo £$y=log_ax$£: è proprio la funzione logaritmica!
Dunque, la funzione logaritmica è l'inversa della funzione esponenziale.
Graficamente, scambiare £$x$£ con £$y$£ (cioè invertire la funzione) significa disegnare la curva simmetrica rispetto alla bisettrice di I e III quadrante.

All'interrogazione potrebbero chiederti...

Prova a rispondere a queste domande per verificare quanto ne sai sul grafico del logaritmo! Ricorda che puoi sempre riguardare la lezione e allenarti con gli esercizi!

Sfida!

Prova a capire se i dati di gradimento del parco giochi che vuoi visitare seguono una particolare curva (che dovresti conoscere)!

Allenati risolvendo la sfida sul grafico del logaritmo!

Esercizi svolti Il grafico del logaritmo: la curva logaritmica

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Esercizi Il grafico del logaritmo: la curva logaritmica - 1

Esercizi Il grafico del logaritmo: la curva logaritmica - 2

Esercizi Il grafico del logaritmo: la curva logaritmica - 3

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