Logaritmi e loro proprietà

Cos'è precisamente un logaritmo?
Data l'equazione £$a^x=b$£, con £$a>0$£ e £$a$£ diverso da £$1$£, chiamiamo logaritmo in base £$a$£ di £$b$£ l'esponente da dare ad £$a$£ per ottenere £$b$£ e scriviamo: £$x=log_a\,b$£.
Il numero £$a$£ si chiama base del logaritmo, mentre £$b$£ è il suo argomento.
Calcolare il logaritmo (in una certa base) di un numero significa trovare l'esponente che, dato alla base, permette di ottenere quel numero.
Il logaritmo è allora l'operazione inversa dell'elevamento a potenza che permette di ricavare l'esponente!

Abbiamo visto un'altra operazione inversa dell'elevamento a potenza, ovvero l'estrazione di radice, che ci consente di ricavare la base della potenza, cioè di risolvere equazioni del tipo £$x^n=b \Rightarrow x= \sqrt[n]b$£ (con le condizioni opportune su £$n$£ e £$b$£).

Attenzione!
Il logaritmo di numeri negativi non esiste!
Scritture come £$log_{10}(-3)$£ non hanno alcun significato.

Visto che il calcolo dei logaritmi è l'operazione inversa dell'elevamento a potenza, ci aspettiamo che le proprietà delle potenze ritornino in qualche modo anche nei logaritmi. Vediamone alcune!

• PROPRIETÀ DEL PRODOTTO: Il logaritmo di un prodotto è la somma dei logaritmi: £$log_a(b_1 \cdot b_2)=log_ab_1+log_ab_2$£ con le condizioni £$b_1>0 \wedge b_2>0$£.
  Per dimostrare questa proprietà applichiamo la definizione di logaritmo, moltiplichiamo membro a membro quello che si ottiene e concludiamo applicando il logaritmo nuovamente.

• PROPRIETÀ DEL QUOZIENTE: Il logaritmo di un quoziente è la differenza dei logaritmi: £$log_a \frac{b_1}{b_2}=log_ab_1-log_ab_2$£ con le condizioni £$b_1>0 \wedge b_2>0$£.
  Anche per dimostrare questa proprietà partiamo dalla definizione di logaritmo, dividiamo membro a membro le relazioni ottenute e applichiamo i logaritmi ad entrambi i membri per concludere.

• PROPRIETÀ DELLA POTENZA: il logaritmo di un numero elevato ad una costante è uguale a quella costante moltiplicata per il logaritmo del numero: £$log_ab^k=klog_a b$£ con la condizione £$b>0$£
  Dimostriamo questa proprietà tramite la definizione di logaritmo e di potenza.

• PROPRIETÀ ELEMENTARI: il logaritmo di 1 è 0: £$log_a 1=0$£. Il logaritmo in base £$a$£ di £$a$£ è 1: £$log_a\,a=1$£.

È possibile avere le tavole dei logaritmi di tutti i numeri rispetto a tutte le possibili basi?
Sarebbe ovviamente una cosa impossibile! Come se la tua calcolatrice potesse avere infiniti tasti per i logaritmi, uno per ogni possibile base!
Le calcolatrici di solito hanno solo due tasti per i logaritmi:

• Il tasto log calcola i logaritmi decimali, cioè quelli con base £$a=10$£
• Il tasto ln calcola invece i logaritmi neperiani o naturali, che hanno base £$a=e \sim 2,71828...$£

La base 10 e la base £$e$£ sono le più importanti e le più usate nelle applicazioni.
Basta conoscere i logaritmi in queste basi (anzi, in una sola) per poter ottenere tutti gli altri!
Per trovare il logaritmo di £$b$£ in una base a qualsiasi possiamo usare la formula del cambiamento di base: £$log_ab=\frac{log_cb}{log_ca}$£.

Hai iniziato a capire cosa sono i logaritmi. Inizia subito ad allenarti: scopri quali sono le proprietà dei logaritmi con questi esercizi!