Logaritmi e loro proprietà

Scopri cos'è un logaritmo e le proprietà dei logaritmi: proprietà della prodotto, del quoziente e della potenza dell'argomento. E se vuoi cambiare la base del logaritmo? Usa la formula del cambiamento di base!

2019-04-03 09:13:36

Le proprietà dei logaritmi sono spesso difficili da ricordare. Vuoi capire la dimostrazione di tutte le proprietà? Prima impariamo qual è la definizione di logaritmo, vediamolo come operazione inversa dell'elevamento a potenza. Vuoi anche sapere come passare da una base all'altra? Qui troverai anche la formula del cambiamento di base!

In questa video lezione imparerai:

  • Definizione di logaritmo: cosa è il logaritmo, quando esiste, logaritmo e potenze
  • Proprietà dei logaritmi: proprietà elementari, del prodotto, del quoziente, e della potenza con dimostrazione
  • Formula del cambiamento di base: come passare da una base ad un'altra in un logaritmo


Accedi per sempre a tutte le lezioni FREE con video ed esercizi spiegati!

Prerequisiti per imparare i logaritmi e le loro proprietà

Il prerequisito per imparare i logaritmi e le loro proprietà è:

Definizione di logaritmo

Cos'è precisamente un logaritmo?
Data l'equazione £$a^x=b$£, con £$a>0$£ e £$a$£ diverso da £$1$£, chiamiamo logaritmo in base £$a$£ di £$b$£ l'esponente da dare ad £$a$£ per ottenere £$b$£ e scriviamo: £$x=log_a\,b$£.
Il numero £$a$£ si chiama base del logaritmo, mentre £$b$£ è il suo argomento.
Calcolare il logaritmo (in una certa base) di un numero significa trovare l'esponente che, dato alla base, permette di ottenere quel numero.
Il logaritmo è allora l'operazione inversa dell'elevamento a potenza che permette di ricavare l'esponente!

Abbiamo visto un'altra operazione inversa dell'elevamento a potenza, ovvero l'estrazione di radice, che ci consente di ricavare la base della potenza, cioè di risolvere equazioni del tipo £$x^n=b \Rightarrow x= \sqrt[n]b$£ (con le condizioni opportune su £$n$£ e £$b$£).

Attenzione!
Il logaritmo di numeri negativi non esiste!
Scritture come £$log_{10}(-3)$£ non hanno alcun significato.

Proprietà dei logaritmi

Visto che il calcolo dei logaritmi è l'operazione inversa dell'elevamento a potenza, ci aspettiamo che le proprietà delle potenze ritornino in qualche modo anche nei logaritmi. Vediamone alcune!

  • PROPRIETÀ DEL PRODOTTO: Il logaritmo di un prodotto è la somma dei logaritmi: £$log_a(b_1 \cdot b_2)=log_ab_1+log_ab_2$£ con le condizioni £$b_1>0 \wedge b_2>0$£.
    Per dimostrare questa proprietà applichiamo la definizione di logaritmo, moltiplichiamo membro a membro quello che si ottiene e concludiamo applicando il logaritmo nuovamente.
  • PROPRIETÀ DEL QUOZIENTE: Il logaritmo di un quoziente è la differenza dei logaritmi: £$log_a \frac{b_1}{b_2}=log_ab_1-log_ab_2$£ con le condizioni £$b_1>0 \wedge b_2>0$£.
    Anche per dimostrare questa proprietà partiamo dalla definizione di logaritmo, dividiamo membro a membro le relazioni ottenute e applichiamo i logaritmi ad entrambi i membri per concludere.
  • PROPRIETÀ DELLA POTENZA: il logaritmo di un numero elevato ad una costante è uguale a quella costante moltiplicata per il logaritmo del numero: £$log_ab^k=klog_a b$£ con la condizione £$b>0$£
    Dimostriamo questa proprietà tramite la definizione di logaritmo e di potenza.
  • PROPRIETÀ ELEMENTARI: il logaritmo di 1 è 0: £$log_a 1=0$£. Il logaritmo in base £$a$£ di £$a$£ è 1: £$log_a\,a=1$£.

Formula del cambiamento di base

È possibile avere le tavole dei logaritmi di tutti i numeri rispetto a tutte le possibili basi?
Sarebbe ovviamente una cosa impossibile! Come se la tua calcolatrice potesse avere infiniti tasti per i logaritmi, uno per ogni possibile base!
Le calcolatrici di solito hanno solo due tasti per i logaritmi:

  • Il tasto log calcola i logaritmi decimali, cioè quelli con base £$a=10$£
  • Il tasto ln calcola invece i logaritmi neperiani o naturali, che hanno base £$a=e \sim 2,71828...$£

La base 10 e la base £$e$£ sono le più importanti e le più usate nelle applicazioni.
Basta conoscere i logaritmi in queste basi (anzi, in una sola) per poter ottenere tutti gli altri!
Per trovare il logaritmo di £$b$£ in una base a qualsiasi possiamo usare la formula del cambiamento di base: £$log_ab=\frac{log_cb}{log_ca}$£.

All'interrogazione potrebbero chiederti...

Hai iniziato a capire cosa sono i logaritmi. Inizia subito ad allenarti: scopri quali sono le proprietà dei logaritmi con questi esercizi!

Sfida sui logaritmi!

Manca poco alla fine della scuola e già pensi alle vacanze! Se conosci i logaritmi, puoi vincere un fantastico viaggio!

Riesci a risolvere la sfida?

Esercizi svolti Logaritmi e loro proprietà

Ecco gli esercizi su Logaritmi e loro proprietà in ordine di difficoltà crescente, completi di procedimento, spiegazione e soluzione. Ogni esercizio è in forma di domanda con 3 o 4 opzioni di risposta. Gli esercizi sono interattivi e danno feedback immediato. Ogni esercizio spiegato ti aiuta a studiare e ripassare velocemente per l'interrogazione ed il compito su Logaritmi. Allenati con gli esercizi svolti di matematica, accumula punti e entra in classifica! Completa tutti i livelli di difficoltà dell'esercitazione per migliorare i tuoi voti in Relazioni e funzioni

Esercizi Logaritmi e loro proprietà - 1

Esercizi Logaritmi e loro proprietà - 2

Esercizi Logaritmi e loro proprietà - 3

Saldi con Carta del docente e 18App
Saldi con Carta del docente e 18App