Proprietà delle relazioni

Quali sono le proprietà delle relazioni? Scopri come applicare le proprietà delle relazioni: riflessiva, antiriflessiva, simmetrica, antisimmetrica e transitiva. Ma ce ne sono altre! Scopri come capire se una relazione gode di una proprietà!

Quali sono le proprietà delle relazioni?

Studiamolo insieme in questa lezione sulle proprietà delle relazioni matematiche!

In questa video lezione imparerai:

  • Proprietà riflessiva e antiriflessiva: definizione di proprietà riflessiva e antiriflessiva di una relazione matematica;
  • Proprietà simmetrica e antisimmetrica: definizione di proprietà simmetrica e antisimmetrica di una relazione matematica;
  • Proprietà transitiva: definizione di proprietà transitiva di una relazione matematica.

Trovi tanti esempi ed esercizi svolti sulle proprietà delle relazioni. Cosa aspetti?!

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Prerequisiti per imparare le proprietà delle relazioni

Il prerequisito per imparare le proprietà delle relazioni è:

Relazioni definite in un insieme

Ora che hai imparato cos’è una relazione, facciamo un passo verso l’uso delle relazioni in matematica. Cosa succede se creiamo una relazione che ha insieme di partenza uguale all’insieme di arrivo? Abbiamo di fronte una relazione definita in un insieme!

Se una relazione è definita in un insieme, possiamo classificarle in base alle proprietà di cui godono. Le proprietà delle relazioni sono:

  • proprietà riflessiva;
  • proprietà simmetrica;
  • proprietà transitiva;
  • proprietà antiriflessiva;
  • proprietà antisimmetrica;
  • proprietà asimmetrica.

Una relazione può godere di una o più di queste proprietà. È importante capire di quali proprietà gode una relazione perché possiamo conoscere in maniera più approfondita il rapporto tra gli elementi (e risolvere velocemente gli esercizi!).

Trovi gli esercizi su questo argomento nella lezione successiva.

Proprietà delle relazioni

Le prime tre proprietà delle relazioni sono (forse) quelle più famose:

  • proprietà riflessiva: ogni elemento è in relazione con se stesso, cioè £$\forall a \Rightarrow a \mathcal{R} a $£;
  • proprietà simmetrica: se un elemento è in relazione con un altro, vale il viceversa, vale a dire £$\forall a,b$£ tali che £$a \mathcal{R} b \Rightarrow b\mathcal{R} a$£;
  • proprietà transitiva: se £$a\mathcal{R} b$£ e £$b\mathcal{R} c$£ allora risulta £$a\mathcal{R}c$£.

Nelle video lezione, troverai alcuni (perché ce ne sono tantissimi) esempi di relazioni che godono di una (ma anche di più di una) di queste proprietà.

Trovi gli esercizi su questo argomento nella lezione successiva.

Altre proprietà delle relazioni

Ecco altre tre proprietà delle relazioni. Queste sono meno “intuitive”, nel senso della definizione, ma sono fondamentali nel campo della logica matematica. Vediamo le definizioni:

  • proprietà antisimmetrica: se £$a\,\mathcal{R}\, b$£ e £$b\,\mathcal{R}\, a $£ allora deve essere £$a=b$£;
  • proprietà asimmetrica: se £$a\, \mathcal{R}\, b$£ allora £$b\, \mathcal{\not R}\, a$£;
  • proprietà antiriflessiva: nessun elemento è in relazione con se stesso, cioè £$\forall a, a\, \mathcal{\not R}\, a$£.

Attenzione: una relazione non simmetrica può non essere asimmetrica, ma esistono anche relazioni antisimmetriche che non sono simmetriche. Quindi la proprietà antisimmetrica non è l’opposto di quella simmetrica.

Per capire se una relazione gode di una (o più) di queste proprietà, serve tanta attenzione alla definizione e sicuramente molti esempi per capire come giocare con le definizioni. Qui ne troverai alcuni. Se ne vuoi di più, allenati con gli esercizi sulle proprietà delle relazioni e leggi la spiegazione!

Trovi gli esercizi su questo argomento nella lezione successiva.

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