Relazioni di equivalenza e d'ordine

Una relazione si dice di equivalenza se è riflessiva, simmetrica e transitiva. Dato un insieme £$A$£, il sottoinsieme di elementi che sono in relazione di equivalenza tra loro si dice classe di equivalenza £$[a]$£. L'insieme quoziente è l'insieme che ha come elementi le classi di equivalenza. Con una relazione di equivalenza si può ottenere una delle possibili partizioni di un insieme, in cui:

• Ogni sottoinsieme non è vuoto (nel nostro caso il sottoinsieme è la classe di equivalenza £$[a]$£);
• Tutti i sottoinsiemi sono disgiunti tra loro;
• L'unione di tutti i sottoinsiemi è l'insieme di partenza.

La relazione d'ordine in un insieme £$A$£ mette in ordine gli elementi: possiamo stabilire quale elemento "viene prima" e quale "viene dopo" .
Perché questo sia possibile la relazione deve essere:

• antisimmetrica perché in qualsiasi "ordine" se £$a$£ è prima di £$b$£, allora £$b$£ non può essere prima di £$a$£;
• transitiva perché la stessa relazione deve mettere in "ordine" più di un elemento, senza contraddirsi: se £$a$£ è prima di £$b$£ e £$b$£ è prima di £$c$£, allora £$a$£ è prima di £$c$£.

Una relazione è di ordine:

• largo se, oltre ad essere transitiva e antisimmetrica, è anche riflessiva;
• stretto se, oltre ad essere transitiva e antisimmetrica, è anche antiriflessiva.

• totale (largo o stretto) se, comunque si scelgano due elementi distinti di £$A$£ £$(a_1, a_2)$£, possiamo sempre dire che £$a_1$£ è in relazione con £$a_2$£ o £$a_2$£ è in relazione con £$a_1$£. In questo caso, £$A$£ è un insieme totalmente ordinato;
• parziale se esiste almeno una coppia di elementi distinti in £$A$£ che non sono confrontabili. In questo caso, £$A$£ è parzialmente ordinato.

La relazione è simmetrica se ogni volta che £$x$£ è in relazione con £$y$£, £$y$£ è anche in relazione con £$x$£, ad esempio:

• Perpendicolarità: se la retta £$r$£ è perpendicolare alla retta £$s$£, anche la retta £$s$£ è perpendicolare alla retta £$r$£
• Parallelismo: se la retta £$r$£ è parallela alla retta £$s$£, anche la retta £$s$£ è parallela alla retta £$r$£
• “abitare nella stessa città”: se £$x$£ abita nella stessa città di £$y$£, allora £$y$£ abita nella stessa città di £$x$£
• Congruenza tra segmenti: se £$x$£ è congruente a £$y$£, £$y$£ è congruente a £$x$£

Ora che sai praticamente tutto sulle relazioni, allenati con questi esercizi svolti sulle relazioni di equivalenza e d'ordine. Come riconoscere se una relazione e di equivalenza o d'ordine? Basta controllare di quali proprietà godono!

Sicuramente deve esserci la proprietà transitiva (questa per forza), ma poi? Simmetrica o antisimmetrica? Allenati con questi esercizi svolti sulle relazioni d'ordine e di equivalenza!

Di che tipo è la relazione tra le app scaricate da Marco e da Andrea? Non avresti mai pensato al legame tra la matematica e la vita di tutti i giorni, vero? Risolvi la sfida sulle relazioni di equivalenza e d'ordine, guarda i video e allenati con gli esercizi.